[科普中國]-特征多項(xiàng)式

定義

設(shè)為域（例如實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)域），對布于上的 矩陣，定義其特征多項(xiàng)式為1

這是一個(gè)n次多項(xiàng)式，其首項(xiàng)系數(shù)為一。

一般而言，對布于任何交換環(huán)上的方陣都能定義特征多項(xiàng)式。

要理解特征多項(xiàng)式，首先需要了解一下特征值與特征向量，這些都是聯(lián)系在一起的：

設(shè)A是n階矩陣，如果數(shù)λ和n維非零列向量x使得關(guān)系式Ax=λx成立，那么，這樣的數(shù)λ就稱為方陣A的特征值，非零向量x稱為A對應(yīng)于特征值λ的特征向量。

然后，我們也就可以對關(guān)系式進(jìn)行變換：(A-λE)x=0 其中E為單位矩陣。這是n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組，它有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為0，即|A-λE|=0。帶入具體的數(shù)字或者符號，可以看出該式是以λ為未知數(shù)的一元n次方程，稱為方陣A的特征方程，左端 |A-λE|是λ的n次多項(xiàng)式，也稱為方陣A的特征多項(xiàng)式。

解法1、把|λE-A|的各行（或各列）加起來，若相等，則把相等的部分提出來（一次因式）后，剩下的部分是二次多項(xiàng)式，肯定可以分解因式。

2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的兩個(gè)元素之一化為零，往往會出現(xiàn)公因子，提出來，剩下的又是一二次多項(xiàng)式。

3、試根法分解因式。

性質(zhì)當(dāng)A為上三角矩陣（或下三角矩陣）時(shí)，，其中 是主對角線上的元素。1

對于二階方陣，特征多項(xiàng)式能表為。一般而言，若 ，則 。

此外：

（1）特征多項(xiàng)式在基變更下不變：若存在可逆方陣 C使得，則。

（2）對任意兩方陣，有。一般而言，若A為矩陣，B 為矩陣（設(shè) ），則。

（3）凱萊-哈密頓定理：。