[科普中國]-換元積分法

定義

換元積分法是求積分的一種方法。它是由鏈?zhǔn)椒▌t和微積分基本定理推導(dǎo)而來的。

在計算函數(shù)導(dǎo)數(shù)時.復(fù)合函數(shù)是最常用的法則,把它反過來求不定積分，就是引進(jìn)中間變量作變量替換，把一個被積表達(dá)式變成另一個被積表達(dá)式。從而把原來的被積表達(dá)式變成較簡易的不定積分這就是換元積分法。換元積分法有兩種，第一類換元積分法和第二類換元積分法。2

兩種方法第一類第一類換元法,也稱為湊微分法，推導(dǎo)過程如下：1

設(shè) 在 上有定義， 在 上可導(dǎo)，且 ， ，并記 ， 。

若 在 上存在原函數(shù) ，則 在 上也存在原函數(shù) ， ，即

在使用時，也可把它寫成如下簡便形式：

使用這種方法的關(guān)鍵在于將 湊成 ，以及 的原函數(shù)容易獲得，下面通過一個例子來講解：

求

解：

第二類設(shè) 在 上有定義， 在 上可導(dǎo)，且 ， ，并記 ， 。

若 ， ，則當(dāng) 在 上存在原函數(shù) 時， 在 上也存在原函數(shù) ，且 ，即

(其中 是 的反函數(shù))2

此時觀察這兩類換元法的定理公式,發(fā)現(xiàn)它們是互相可逆的。

例子計算積分 。1

其中換元為后，亦變?yōu)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/uC6wn1ravDD7TJWHK62Hac1XlXWjQEfaGWew.jpg" alt="" />，是因?yàn)槠湫问綖槔杪沟贍柦芩狗e分，但在黎曼－斯蒂爾杰斯積分中變數(shù)的取值范圍應(yīng)該還是x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍。