[科普中國]-三角學(xué)

概述

三角學(xué)(trigonometry)數(shù)學(xué)的一門分科，包括平面三角學(xué)和球面三角學(xué)。平面三角學(xué)研究三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象、三角函數(shù)式的恒等變換、解三角形等。球面三眾學(xué)研究球面三角形的邊角關(guān)系，以及由球面三角形的三個巳知基本元素，計算它的未知基本元素的問題。三角學(xué)在高等數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)、測量學(xué)以及航海等方面都有廣泛的應(yīng)用。

以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系為基礎(chǔ)，達到測量上的應(yīng)用為目的一門學(xué)科。同時，三角學(xué)還研究三角函數(shù)的性質(zhì)以及它們的應(yīng)用。1

研究三角函數(shù)的、屬于分析學(xué)的一個分支。三角學(xué)輸入我國，開始于明代崇禎四年(1631年)，這一年徐光啟等合編了我國第一部三角學(xué)《大測》。清朝初年，數(shù)學(xué)家梅文鼎編寫了《平三角舉要》和《弧三角舉要》各五卷，這是當時兩部較好的入門書籍。2

三角學(xué)既可以在歐幾里得幾何學(xué)中考慮，亦可在非歐幾何學(xué)中考慮，歐幾里得空間中球面上的三角學(xué)稱為球面三角學(xué)。

起源

“三角學(xué)”一詞源于希臘文“三角形”和“測量”兩詞的組合，原意為三角形的測量，或者說解三角形。3它從最初研究到最后的學(xué)說確立，經(jīng)歷了很長的時間。

三角學(xué)最初并不是獨立發(fā)展的，它是在早期人們的天文、航海應(yīng)用中逐漸形成的。最早研究三角學(xué)的是古希臘人，那時他們?yōu)榱擞嬎愫胶Ｂ肪€和根據(jù)天體運行來推演日歷，開始研究三角形的邊與角的關(guān)系。而根據(jù)實際需要，最先發(fā)展的是球面三角形的理論。那時的古希臘人就已經(jīng)研究出了一些三角形定理，比如相等的兩邊對應(yīng)的角相等、兩邊之和大于第三邊等。在數(shù)學(xué)界，人們大都認為是希臘天文學(xué)家喜帕恰斯創(chuàng)立了三角學(xué)。他曾有12卷關(guān)于三角學(xué)的著作，并制作出了弦表。4

公元元年以后，在亞歷山大，數(shù)學(xué)研究還在繼續(xù)著，但人們對這門學(xué)科本身的興趣在逐漸減退，它逐漸成了其他學(xué)科尤其是天文學(xué)的輔助學(xué)科。這個時期的著名人物是托勒密(克羅狄·托勒密)，他于公元2世紀中葉享有盛名。他的著作《大匯編》，后來人們稱為《至大論》主要是天文學(xué)方面的論著。但是它在數(shù)學(xué)史中很重要，因為它可以說是三角學(xué)最早的系統(tǒng)性論著。有充分的理由相信，在《至大論》一書中，很多內(nèi)容都是喜帕恰斯所知道的，而托勒密很可能也熟悉梅內(nèi)克繆斯的《球面幾何學(xué)》(Spharica)，后者有相當篇幅討論到球面三角形的性質(zhì)。

三角學(xué)這門科學(xué)是從確定平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系開始的。很可能埃及人早已發(fā)現(xiàn)三角形的不同元素之間具有某種關(guān)連，但首先看到有必要建立三角形的邊與角之間的精確關(guān)系的乃是希臘人。托勒密在天文學(xué)上的研究要求建立某些能精確確定這些關(guān)系的規(guī)則，正是為了改善天文計算，三角學(xué)才應(yīng)運而生。因此，球面三角學(xué)的研究先于平面三角學(xué)。這些規(guī)則，有許多可在《至大論》一書的第一卷中找到。

三角學(xué)在波伊爾巴赫(1423—1461)、雷格蒙塔努斯(原名約翰·繆勒)、雷蒂庫斯和皮蒂斯楚斯(1561——1613)等人手中獲得了進一步的發(fā)展。5

基礎(chǔ)理論1.三角測量

三角測量是指在導(dǎo)航、測量及土木工程中精確測量距離和角度的技術(shù)，主要用于為船只或飛機定位。它的原理是：如已知三角形的一邊及兩角，則其余的兩邊一角可用平面三角學(xué)的方法計算出來。在西方，古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯首次證明了有關(guān)直角三角形的“畢達哥拉斯定理”，即中國的“勾股定理”，對于幾何學(xué)研究及其應(yīng)用做出了巨大貢獻。

三角測量是按三角原理布設(shè)平面控制網(wǎng)的各種方法。三角測量包括三邊測量、邊角測量及交會測量等方法，是測量中建立平面控制網(wǎng)的一種主要方法。系指按一定要求在地面選定若干個點(三角點)，構(gòu)成由相互連接的三角形組合的三角鎖網(wǎng)。通過觀測三角形各角角值或方向值，并測定一個或幾個起始邊邊長和起始方位角(或起始于一個或幾個已知點、已知方位角)，進而根據(jù)三角公式及最小二乘法原理，算得各角或方向的平差值以及各邊的邊長、方位角，根據(jù)已知點坐標推算出各未知點的坐標。

三角測量的基本布網(wǎng)形式為三角鎖和三角網(wǎng)。鎖網(wǎng)中的測量元素是角度或方向的，稱為測角三角鎖、測角三角網(wǎng)。測角三角鎖網(wǎng)在平差后根據(jù)角度推算各邊邊長、方位角和各點坐標，是應(yīng)用最廣的傳統(tǒng)布網(wǎng)方法。測量元素為邊長的稱為測邊三角鎖、測邊三角網(wǎng)。測邊三角鎖網(wǎng)平差后根據(jù)邊長推算三角形各角角值、各邊方位角和各點坐標。6

2.勾股定理

在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，也就是直角三角形斜邊上的正方形的面積等于兩條直角邊上正方形面積的和。這就是著名的勾股定理。由勾股定理，人們后來又相繼推演出“勾股定理的逆定理”和“勾股數(shù)組”等數(shù)學(xué)概念。

3.三角鏈

三角形中有一條邊經(jīng)量度為已知，稱為基線。其相鄰的兩角用經(jīng)緯儀測出，就可確立整個三角形。測定許多這樣的三角形，每個三角形至少與另一個三角形相鄰，則可求得用其他方法無法測量的距離和角度。

4.三角函數(shù)

在直角坐標系中，以原點O為頂點，射線OX為始邊，OP為終邊的角為θ，設(shè)點P的坐標為(x，y)，距離lOPl=r，這時6個比y/r、x/r、y/x、x/y、r/x、r/y由角θ的大小確定，都是θ的函數(shù)，稱它們?yōu)榻铅鹊娜呛瘮?shù)，分別叫做正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。3