[科普中國]-變換群

簡(jiǎn)介

設(shè)G是一個(gè)非空集合，G的元素間定義一種運(yùn)算“○”。如果G滿足以下的條件：1

1.（運(yùn)算封閉性）對(duì)于G中的任意兩個(gè)元素a、b，恒有a○b∈G；

2.（結(jié)合律）對(duì)于G中的任意三個(gè)元素a、b、c，恒有(a○b)○c=a○(b○c)；

3.（單位元）存在單位元e∈G，使得對(duì)于G中的任意元素a，都有e○a=a；

4.（逆元）對(duì)于G中的任意元素a,存在a的逆元b∈G，使得b○a=e。

則稱G關(guān)于運(yùn)算“○”作為一個(gè)群。簡(jiǎn)稱G是一個(gè)群。

設(shè)A是一個(gè)非空集合，A的若干個(gè)一一變換對(duì)于變換的乘法所作成的群稱為A的一個(gè)變換群。

定義一組變換，對(duì)變換的乘積構(gòu)成的群。設(shè)G為M上的有限或無限個(gè)變換的集合，若滿足下面兩個(gè)條件：①集合G中任意兩個(gè)變換的乘積仍屬于G；②集合G中每一個(gè)變換必有其逆變換，而且這個(gè)逆變換也屬于G，則稱G為M上的一個(gè)變換群。

例如，平移變換可以構(gòu)成一個(gè)群：平面上任意兩個(gè)平移變換的積仍是平移變換;每個(gè)平移變換都有逆變換，這個(gè)逆變換就是按原變換相反方向的變換，所以仍是平移變換(參見“平移變換的性質(zhì)”).

用變換群來研究對(duì)應(yīng)的幾何學(xué)的觀點(diǎn)，是由德國數(shù)學(xué)家克萊茵首先提出來的。1872年，克萊茵在埃爾朗根大學(xué)的教授就職演講中，提出題為《關(guān)于近代幾何研究的比較》的論文，論述了變換群在幾何中的主導(dǎo)作用.他把到當(dāng)時(shí)為止已發(fā)現(xiàn)的所有的幾何，統(tǒng)一在變換群的觀點(diǎn)之下，明確地給出了幾何的一種新定義，即把幾何定義為在某個(gè)變換群之下研究圖形不變性質(zhì)與不變量的一門科學(xué).這種觀點(diǎn)突出了變換群在研討幾何中的地位，為用近代數(shù)學(xué)方法研究幾何學(xué)開辟了道路，因此后來把它簡(jiǎn)稱為《埃爾朗根綱領(lǐng)》。

按照變換群的觀點(diǎn)，幾何學(xué)可以這樣分類：研究射影變換群、仿射變換群、相似變換群、正交變換群下不變性質(zhì)和不變量的幾何學(xué)分別是射影幾何學(xué)、仿射幾何學(xué)、拋物幾何學(xué)、歐氏幾何學(xué)。正交變換群也稱為運(yùn)動(dòng)群，歐氏幾何學(xué)的主要內(nèi)容就是研究運(yùn)動(dòng)群下不變性質(zhì)和不變量的幾何學(xué)。近代發(fā)展很快、應(yīng)用越來越廣的一門學(xué)科——拓?fù)鋵W(xué)，就是研究拓?fù)渥儞Q下不變性質(zhì)和不變量的幾何學(xué)。

群群是一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對(duì)G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：2

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對(duì)G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對(duì)于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群;時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個(gè)群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對(duì)稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

人物簡(jiǎn)介克萊因是著名德國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家、物理學(xué)家。在拓?fù)鋵W(xué)、幾何學(xué)上有很多貢獻(xiàn)。他認(rèn)識(shí)到群論的重要性，把群的概念廣泛應(yīng)用于很多數(shù)學(xué)分支。在1872年，發(fā)表了著名的《埃爾蘭根綱領(lǐng)》。他提出了按照在變換群下保持不變的性質(zhì)，來對(duì)幾何學(xué)加以分類的觀點(diǎn)，用群論統(tǒng)一了幾何學(xué)。對(duì)近代幾何學(xué)的發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響，并為狹義相對(duì)論的創(chuàng)立準(zhǔn)備了條件。1886年以后，長期在哥廷根大學(xué)任教，是哥廷根學(xué)派全盛時(shí)期的杰出代表。他關(guān)于數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的觀點(diǎn)，對(duì)希爾伯特有很大的影響。他還提出，數(shù)學(xué)應(yīng)該與實(shí)際緊密聯(lián)系。他組織了許多數(shù)學(xué)討論班，通過教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體得到全面的認(rèn)識(shí)。他在教定理時(shí)，只講證明的梗概，而把證明留給學(xué)生自己去完成。他首先倡導(dǎo)改革中等教育的數(shù)學(xué)內(nèi)容，對(duì)近代數(shù)學(xué)教育有重要的影響。3

分類射影變換群簡(jiǎn)稱射影群。是一類基本的變換群。即由射影空間中全體射影變換所構(gòu)成的變換群。例如平面上全體射影變換構(gòu)成平面上的射影群。空間中全體射影變換構(gòu)成空間中的射影群。研究在射影群下不變性質(zhì)與不變量的幾何稱為射影幾何。

仿射變換群簡(jiǎn)稱仿射群。一類基本的變換群。即由仿射空間中全體仿射變換所構(gòu)成的變換群。例如，平面上的全體仿射變換構(gòu)成平面上的仿射變換群，它是平面射影變換中以無窮遠(yuǎn)直線為絕對(duì)形的自同構(gòu)群?？臻g中全體仿射變換構(gòu)成空間的仿射變換群，它是空間射影變換中以無窮遠(yuǎn)平面為絕對(duì)形的自同構(gòu)群。研究在仿射群下不變性質(zhì)與不變量的幾何稱為仿射幾何。

相似變換群亦稱拋物度量群。簡(jiǎn)稱相似群。一類基本的變換群.平面上所有相似變換的集合構(gòu)成群，稱為相似變換群。它是一個(gè)四維群。仿射變換群的子群。在仿射變換中若保持一對(duì)點(diǎn)I(1，i，0)，J(1，-i，0)不變，則為相似變換。相似變換保持同素性，結(jié)合性及共線三點(diǎn)的單比不變，還保持兩直線所構(gòu)成的角度不變。相似變換把一個(gè)圖形變?yōu)榕c它相似的圖形。與相似變換群相對(duì)應(yīng)的幾何學(xué)稱為相似幾何學(xué)或拋物幾何學(xué)。

正交變換群亦稱運(yùn)動(dòng)群或度量群。簡(jiǎn)稱正交群。一類基本的變換群。即全體正交變換所構(gòu)成的變換群。例如，平面上全體正交變換的集合構(gòu)成平面上的正交群，空間中正交變換的全體構(gòu)成空間中的正交群。平面上(空間中)的正交群是平面上(空間中)仿射群的子群。研究正交群下不變性質(zhì)與不變量的幾何稱為歐氏幾何或度量幾何。4