[科普中國(guó)]-幻方

種類完全幻方

完全幻方指一個(gè)幻方行、列、主對(duì)角線及泛對(duì)角線各數(shù)之和均相等1。

乘幻方乘幻方指一個(gè)幻方行列、對(duì)角線各數(shù)乘積相等。

高次幻方n階幻方是由前n^2（n的2次方）個(gè)自然數(shù)組成的一個(gè)n階方陣，其各行、各列及兩條對(duì)角線所含的

n個(gè)數(shù)的和相等。例子：（三階幻方，幻和為15，）

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高次幻方是指，當(dāng)組成幻方各數(shù)替換為其2，3,...,k次冪時(shí)，仍滿足幻方條件者，稱此幻方為k次幻方。

反幻方反幻方的定義：在一個(gè)由若干個(gè)排列整齊的數(shù)組成的正方形中，圖中任意一橫行、一縱行及對(duì)角線的幾個(gè)數(shù)之和不相等，具有這種性質(zhì)的圖表，稱為“反幻方”。

反幻方與正幻方最大的不同點(diǎn)是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。所謂幻和就是幻方的任意行、列及對(duì)角線幾個(gè)數(shù)之和。如下圖3階反幻方的比較。

圖中邊框外圍的數(shù)字之和就是幻和。紅色為偶數(shù)，黑色為奇數(shù)。

可以說反幻方是一種特殊的幻方。反幻方的幻和可以全部不同，也可以部分相同。如下圖多種3階反幻方。

三階幻方

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如圖，1和7相加除以2=4

1和3相加除以2=2

……

起源記載在一個(gè)由若干個(gè)排列整齊的數(shù)組成的正方形中，圖中任意一橫行、一縱行及對(duì)角線的幾個(gè)數(shù)之和都相等，具有這種性質(zhì)的圖表，稱為“幻方”。中國(guó)古代稱為“河圖”、“洛書”，又叫“縱橫圖”。

九宮洛書蘊(yùn)含奇門遁甲的布陣之道。九宮之?dāng)?shù)源于《易經(jīng)》?；梅揭卜Q縱橫圖、魔方、魔陣，它是科學(xué)的結(jié)晶與吉祥的象征，發(fā)源于中國(guó)古代的洛書——九宮圖。公元前一世紀(jì)，西漢宣帝時(shí)的博士戴德在他的政治禮儀著作《大戴禮·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛書九宮數(shù)記載。洛書被世界公認(rèn)為組合數(shù)學(xué)的鼻祖，它是中華民族對(duì)人類的偉大貢獻(xiàn)之一。同時(shí)，洛書以其高度抽象的內(nèi)涵，對(duì)中國(guó)古代政治倫理、數(shù)學(xué)、天文氣象、哲學(xué)、醫(yī)學(xué)、宗教等都產(chǎn)生了重要影響。在遠(yuǎn)古傳說中，于治國(guó)安邦上也具有積極的寓意！包括洛書在內(nèi)的幻方自古以來在亞、歐、美洲不少國(guó)家都被作為驅(qū)邪避兇的吉祥物，這種古代地域廣泛的圖騰應(yīng)該說是極其少見的。1975年上海人民出版社出版的自然辯證法叢書《自然科學(xué)大事年表》，對(duì)于幻方作了特別的述說：“公元前一世紀(jì)，《大戴禮》記載，中國(guó)古代有象征吉祥的河圖洛書縱橫圖，即為九宮算，被認(rèn)為是現(xiàn)代‘組合數(shù)學(xué)’最古老的發(fā)現(xiàn)?！边€附了全書唯一的插圖！

2500年前，孔子在他研究《易經(jīng)》的著作《系詞上傳》中記載了：“河出圖，洛出書，圣人則之?！弊钤鐚?shù)字與洛書相連的記載是2300年前的《莊子·天運(yùn)》，它認(rèn)為：“天有六極五常，帝王順之則治，逆之則兇。九洛之事，治成德備，監(jiān)照下土，天下戴之，此謂上皇。”明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中也曾發(fā)出“數(shù)何肇？其肇自圖、書乎？伏羲得之以畫卦，大禹得之以序疇，列圣得之以開物”的感嘆，大意是說，數(shù)起源于遠(yuǎn)古時(shí)代黃河出現(xiàn)的河圖與洛水出現(xiàn)的洛書，伏羲依靠河圖畫出八卦，大禹按照洛書劃分九州，并制定治理天下的九類大法，圣人們根據(jù)它們演繹出各種治國(guó)安邦的良策，對(duì)人類社會(huì)與自然界的認(rèn)識(shí)也得到步步深化。大禹從洛書中數(shù)的相互制約，均衡統(tǒng)一得到啟發(fā)而制定國(guó)家的法律體系，使得天下一統(tǒng)，歸于大治，這是借鑒思維的開端。這種活化思維的方式已成為科學(xué)靈感的來源之一。從洛書發(fā)端的幻方在數(shù)千年后更加生機(jī)盎然，被稱為具有永恒魅力的數(shù)學(xué)問題。

十三世紀(jì)，中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在世界上首先開展了對(duì)幻方的系統(tǒng)研究，歐洲十四世紀(jì)也開始了這方面的工作。著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪、歐拉都進(jìn)行過幻方研究，如今，幻方仍然是組合數(shù)學(xué)的研究課題之一，經(jīng)過一代代數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者的共同努力，幻方與它的變體所蘊(yùn)含的各種神奇的科學(xué)性質(zhì)正逐步得到揭示。它已在組合分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、圖論、數(shù)論、群、對(duì)策論、紡織、工藝美術(shù)、程序設(shè)計(jì)、人工智能等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。1977年，4階幻方還作為人類的特殊語言被美國(guó)旅行者1號(hào)、2號(hào)飛船攜入太空，向廣袤的宇宙中可能存在的外星人傳達(dá)人類的文明信息與美好祝愿。

歷史發(fā)展幻方又稱為魔方，方陣或廳平方，最早起源于中國(guó)。宋代數(shù)學(xué)家楊輝稱之為縱橫圖。

幻方的幻在于無論取哪一條路線，最后得到的和或積都是完全相同的。

大約兩千多年前西漢時(shí)代，流傳夏禹治水時(shí)，黃河中躍出一匹神馬，馬背上馱著一幅圖，人稱「河圖」；又洛水河中浮出一只神龜，龜背上有一張象征吉祥的圖案稱為「洛書」.他們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)圖案每一列，每一行及對(duì)角線，加起來的數(shù)字和都是一樣的，這就是我們所稱的幻方.也有人認(rèn)為"洛書"是外星人遺物；而"河圖"則是描述了宇宙生物（包括外星人）的基因排序規(guī)則，幻方是外星人向地球人的自我介紹.另外在上海浦東陸家嘴地區(qū)挖出了一塊元朝時(shí)代伊斯蘭教信徒所掛的玉掛，玉掛的正面寫著：「萬物非主，惟有真宰，默罕默德，為其使者」，而玉掛的另一面就是一個(gè)四階幻方.

關(guān)于幻方的起源，中國(guó)有“河圖”和“洛書”之說。相傳在遠(yuǎn)古時(shí)期，伏羲氏取得天下，把國(guó)家治理得井井有條，感動(dòng)了上天，于是黃河中躍出一匹龍馬，背上馱著一張圖，作為禮物獻(xiàn)給他，這就是“河圖”，也是最早的幻方。伏羲氏憑借著“河圖”而演繹出了八卦，后來大禹治洪水時(shí)，洛水中浮出一只大烏龜，它的背上有圖有字，人們稱之為“洛書”。“洛書”所畫的圖中共有黑、白圓圈45個(gè)。把這些連在一起的小圓和數(shù)目表示出來，得到九個(gè)。這九個(gè)數(shù)就可以組成一個(gè)縱橫圖，人們把由九個(gè)數(shù)3行3列的幻方稱為3階幻方，除此之外，還有4階、5階...

后來，人們經(jīng)過研究，得出計(jì)算任意階數(shù)幻方的各行、各列、各條對(duì)角線上所有數(shù)的和的公式為：

S=n(n^2+1) /2

其中n為幻方的階數(shù)，所求的數(shù)為S.

幻方最早記載于中國(guó)公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中，這說明中國(guó)人民早在2500年前就已經(jīng)知道了幻方的排列規(guī)律。而在國(guó)外，公元130年，希臘人塞翁才第一次提起幻方。

中國(guó)不僅擁有幻方的發(fā)明權(quán)，而且是對(duì)幻方進(jìn)行深入研究的國(guó)家。公元13世紀(jì)的數(shù)學(xué)家楊輝已經(jīng)編制出3－10階幻方，記載在他1275年寫的《續(xù)古摘奇算法》一書中。在歐洲，直到1514年，德國(guó)著名畫家丟勒才繪制出了完整的四階幻方。

而在國(guó)外，十二世紀(jì)的阿拉伯文獻(xiàn)也有六階幻方的記載，中國(guó)的考古學(xué)家們?cè)?jīng)在西安發(fā)現(xiàn)了阿拉伯文獻(xiàn)上的五塊六階幻方，除了這些以外，歷史上最早的四階幻方是在印度發(fā)現(xiàn)的，那是一個(gè)完全幻方（后面會(huì)提到），而且比中國(guó)的楊輝還要早了兩百多年，印度人認(rèn)為那是天神的手筆.1956年西安出土一鐵片板上所刻的六階幻方(古阿拉伯?dāng)?shù)字)十三世紀(jì)，東羅馬帝國(guó)才對(duì)幻方產(chǎn)生興趣，但卻沒有什么成果.

直到十五世紀(jì)，住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中國(guó)的縱橫圖傳給了歐洲人，歐洲人認(rèn)為幻方可以鎮(zhèn)壓妖魔，所以把它作為護(hù)身符，也把它叫作「Magic Square」.

歐洲最早的幻方是在德國(guó)一位名畫家Albrecht Dure的畫里的，

上面有一個(gè)四階幻方，而這個(gè)幻方的下面兩個(gè)數(shù)字正好是這幅畫的制作年代(1514年）.這是歐洲最古老的幻方.

清末民初數(shù)學(xué)家壽孝天自攥：

1956年冬，陜西省西安市郊元朝安西王府出土的金屬鐵板：

紀(jì)錄中國(guó)幻方協(xié)會(huì)前十位大師級(jí)人物：李文，郭先強(qiáng)，潘鳳雛，蘇茂挺，鐘明，吳碩辛，曹陵，牛國(guó)良，彭保旺，曾學(xué)涵，他們?nèi)侵袊?guó)的草根幻方達(dá)人，在幻方的學(xué)術(shù)研究上取得了一系列重大成果，很多研究成果領(lǐng)先于世界幻方研究同行。許仲義，李抗強(qiáng)，王忠漢，郭大焱，林正錄等幻方前輩，他們也為中國(guó)幻方的研究與發(fā)展作出了無私的奉獻(xiàn)，還有很多我們可能已經(jīng)忘記了他們的名字，或許他們過去的研究成果在今天看來已經(jīng)平淡無奇，但他們的歷史階段為我們后來者的研究提供了積極的養(yǎng)分。本協(xié)會(huì)一系列的幻方研究者，為中國(guó)乃至世界幻方學(xué)術(shù)研究、推廣普及事業(yè)一直不懈奮斗著并將繼續(xù)努力奉獻(xiàn)。

中國(guó)取得不少幻方世界紀(jì)錄：幻方專家李文第一位構(gòu)造成功10階標(biāo)準(zhǔn)幻立方，第一位構(gòu)造出最低階729階五次幻方,第一位構(gòu)造出最牛的36階廣義五次幻方，第一位理論上證明了存在最難的完美平方幻方，和多項(xiàng)平方幻方世界紀(jì)錄，幻方專家蘇茂挺第一位構(gòu)成功32階完美平方幻方.等。

提醒大家注意，任意階幻方構(gòu)造法，任意維幻方構(gòu)造法，任意次幻方構(gòu)造法，都早已找到。

不存在最大階幻方的世界紀(jì)錄之類.

對(duì)于各種媒體報(bào)導(dǎo)的幻方世界之最，很多是不實(shí)報(bào)導(dǎo)，不存在未解最大階數(shù)幻方。

幻方欣賞中國(guó)幻方網(wǎng)站

在線二維任意階幻方生成；

法國(guó)高次幻方網(wǎng)站；

日本多維幻方網(wǎng)站；

富蘭克林的幻方；

九階平方幻方；

十二階完美幻方（每個(gè)2×2子矩陣和為286):

構(gòu)造原理在《射雕英雄傳》中郭黃二人被裘千仞追到黑龍?zhí)?，躲進(jìn)瑛姑的小屋。瑛姑出了一道題：數(shù)字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及兩條對(duì)角線上的和都相等。這道題難倒了瑛姑十幾年，被黃蓉一下子就答出來了。

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這就是一個(gè)最簡(jiǎn)單的3階平面幻方。因?yàn)榛梅降闹橇π院腿の缎?，很多游戲和玩具都與幻方有關(guān)，如捉放曹、我們平時(shí)玩的六面體，也成為學(xué)習(xí)編程時(shí)的常見問題。

幻方又稱縱橫圖、九宮圖，最早記錄于中國(guó)古代的洛書。夏禹治水時(shí)，河南洛陽附近的大河里浮出了一只烏龜，背上有一個(gè)很奇怪的圖形，古人認(rèn)為是一種祥瑞，預(yù)示著洪水將被夏禹王徹底制服。后人稱之為"洛書"或"河圖"，又叫河洛圖。

南宋數(shù)學(xué)家楊輝，在他著的《續(xù)古摘奇算法》里介紹了這種方法：只要將九個(gè)自然數(shù)按照從小到大的遞增次序斜排，然后把上、下兩數(shù)對(duì)調(diào)，左、右兩數(shù)也對(duì)調(diào)；最后再把中部四數(shù)各向外面挺出，幻方就出現(xiàn)了2。

最簡(jiǎn)單的幻方就是平面幻方，還有立體幻方、高次幻方等。對(duì)于立體幻方、高次幻方世界上很多數(shù)學(xué)家仍在研究，只討論平面幻方。

對(duì)平面幻方的構(gòu)造，分為三種情況：N為奇數(shù)、N為4的倍數(shù)、N為其它偶數(shù)(4n+2的形式）

1、 N 為奇數(shù)時(shí)，最簡(jiǎn)單：

⑴ 將1放在第一行中間一列；

⑵ 從2開始直到n×n止各數(shù)依次按下列規(guī)則存放：

按 45°方向行走，如向右上

每一個(gè)數(shù)存放的行比前一個(gè)數(shù)的行數(shù)減1，列數(shù)加1

⑶ 如果行列范圍超出矩陣范圍，則回繞。

例如1在第1行，則2應(yīng)放在最下一行，列數(shù)同樣加1;

⑷ 如果按上面規(guī)則確定的位置上已有數(shù)，或上一個(gè)數(shù)是第1行第n列時(shí)，

則把下一個(gè)數(shù)放在上一個(gè)數(shù)的下面。

2、 N為4的倍數(shù)時(shí)

采用對(duì)稱元素交換法。

首先把數(shù)1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣

然后將方陣的所有4×4子方陣中的兩對(duì)角線上位置的數(shù)關(guān)于方陣中心作對(duì)

稱交換，即a(i,j）與a(n+1-i,n+1-j）交換，所有其它位置上的數(shù)不變。

（或者將對(duì)角線不變，其它位置對(duì)稱交換也可）

**以上方法只適合于n=4時(shí)**

3、 N 為其它偶數(shù)時(shí)

當(dāng)n為非4倍數(shù)的偶數(shù)（即4n+2形）時(shí)：首先把大方陣分解為4個(gè)奇數(shù)(2m+1階）子方陣。

按上述奇數(shù)階幻方給分解的4個(gè)子方陣對(duì)應(yīng)賦值

由小到大依次為上左子陣（i），下右子（i+v），上右子陣（i+2v)，下左子陣（i+3v），

即4個(gè)子方陣對(duì)應(yīng)元素相差v，其中v=n*n/4

四個(gè)子矩陣由小到大排列方式為 ① ③

④ ②

然后作相應(yīng)的元素交換：a(i,j）與a(i+u,j）在同一列做對(duì)應(yīng)交換（jn-t+2),

a(t-1,0）與a(t+u-1,0）；a(t-1,t-1)與a(t+u-1,t-1)兩對(duì)元素交換

其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交換使行列及對(duì)角線上元素之和相等。

C語言實(shí)現(xiàn)3

#include"stdio.h"#include"math.h"int a[256][256];int sum;int check();void ins(int n);void main(){ int i,j,n,k,t,p,x; scanf("%d",&n); sum=(n*n+1)*n/2; if(n%2==1) //奇數(shù)幻方 ins(n); if(n%4==2) { //單偶數(shù)幻方 k=n/2; ins(k); for(i=0; i