[科普中國(guó)]-共軛復(fù)數(shù)

公式

根據(jù)定義，若z=a+bi(a，b∈R)，則 zˊ=a－bi（a,b∈R)。共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)（詳見(jiàn)附圖）。兩個(gè)復(fù)數(shù):x+yi與x-yi稱(chēng)為共軛復(fù)數(shù),它們的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù).在復(fù)平面上.表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng).而這一點(diǎn)正是"共軛"一詞的來(lái)源.兩頭牛平行地拉一部犁,它們的肩膀上要共架一個(gè)橫梁,這橫梁就叫做"軛".如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加個(gè)"一"就表示X-Yi,或相反.

共軛復(fù)數(shù)有些有趣的性質(zhì):

另外還有一些四則運(yùn)算性質(zhì).

代數(shù)特征**（1）|z|=|z′|；**

（2）z+z′=2a（實(shí)數(shù)），z－z′=2bi；

（3）z· z′=|z|^2=a^2+b^2（實(shí)數(shù)）；

加法法則復(fù)數(shù)的加法法則：設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)。兩者和的實(shí)部是原來(lái)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部的和，它的虛部是原來(lái)兩個(gè)虛部的和。兩個(gè)復(fù)數(shù)的和依然是復(fù)數(shù)。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.2

減法法則兩個(gè)復(fù)數(shù)的差為實(shí)數(shù)之差加上虛數(shù)之差（乘以i）

即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i

乘法法則復(fù)數(shù)的乘法法則：把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類(lèi)似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，結(jié)果中i^2 = -1，把實(shí)部與虛部分別合并。兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)。

即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac－bd)+(bc+ad)i.

除法法則復(fù)數(shù)除法定義：滿(mǎn)足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R）叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商運(yùn)算方法：將分子和分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再用乘法法則運(yùn)算。

即：

開(kāi)方法則若z^n=r(cosθ+isinθ），則z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n-1）

共軛法則z=x+iy的共軛，標(biāo)注為z*就是共軛數(shù)z*=x-iy

即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2

即，當(dāng)一個(gè)復(fù)數(shù)乘以他的共軛數(shù)，結(jié)果是實(shí)數(shù)。

z=x+iy 和 z*=x-iy 被稱(chēng)作共軛對(duì)

運(yùn)算特征**（1）(z1+z2)′=z1′+z2′**

（2） (z1-z2)′=z1′-z2′

（3） (z1·z2)′=z1′·z2′

（4） (z1/z2)′=z1′/z2′ (z2≠0)

總結(jié)：和（差、積、商）的共軛等于共軛的和（差、積、商）。

模的運(yùn)算性質(zhì)① | z1·z2| = |z1|·|z2|

②| z1|－| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|

③| z1－z2| = | z1z2|，是復(fù)平面的兩點(diǎn)間距離公式，由此幾何意義可以推出復(fù)平面上的直線(xiàn)、圓、雙曲線(xiàn)、橢圓的方程以及拋物線(xiàn)

PS:z′表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)(實(shí)際形式為z上一橫)，z″表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)(為z上兩橫)，即z〃=z。1