[科普中國(guó)]-真值表

離散數(shù)學(xué)定義

真值表是含n(n1)命題變項(xiàng)的命題公式 ，共有組賦值將命題公式A在所有賦值之下取值的情況列成表，稱為A的真值表。1

構(gòu)造真值表步驟

找出命題公式中所含的所有命題變項(xiàng)（若無(wú)下角標(biāo)就按字典順序給出），列出所有的可能的賦值（）；

按從低到高的順序?qū)懗龈鲗哟危?/p>

對(duì)應(yīng)每個(gè)賦值，計(jì)算命題公式各層次的值，直到最后計(jì)算出命題公式的值。

真值表的發(fā)展發(fā)明真值表是用來(lái)在弗雷格、羅素等人開(kāi)發(fā)的命題演算上工作的。它是在1917年年由維特根斯坦首次和1921年由 Emil Post 獨(dú)立發(fā)明的。真值表最初是作為一項(xiàng)邏輯矩陣的發(fā)現(xiàn)而產(chǎn)生的，十九世紀(jì)卓越的邏輯學(xué)家，美國(guó)人查爾士·山德?tīng)査埂て柺恳赃@項(xiàng)邏輯矩陣的發(fā)現(xiàn)為命題邏輯現(xiàn)代系統(tǒng)做出了重大貢獻(xiàn)。維特根斯坦的邏輯哲學(xué)論使用它們把真值函數(shù)置于序列中。這個(gè)著作的廣泛影響導(dǎo)致了真值表的傳播。

真值表被用來(lái)計(jì)算真值泛函表達(dá)式的值(就是說(shuō)是一個(gè)判定過(guò)程)。真值泛函表達(dá)式要么是原子(就是說(shuō)是命題變量(或占位符)或命題函數(shù) - 比如 Px)或建造自使用邏輯運(yùn)算符(就是說(shuō) ∧ (AND)，∨ (OR)，? (NOT) - 例如 Fx & Gx)的原子公式。

真值表中的列標(biāo)題展示了 (i) 命題函數(shù)與/或變量，和 (ii) 建造自這些命題函數(shù)或變量和運(yùn)算符的真值泛函表達(dá)式。行展示對(duì) (i) 和 (ii) 的 T 或 F 指派的每個(gè)可能的求值。換句話說(shuō)，每行都是對(duì) (i) 和 (ii) 的不同解釋。

實(shí)例經(jīng)典(就是說(shuō)二值)邏輯的真值表限定于只有兩個(gè)真值是可能的布爾邏輯系統(tǒng)，它們是真或假，通常在表中簡(jiǎn)單的表示為 T 和 F。

舉例：用真值表方法回答：丁的話是否成立？為什么？

甲：只有小王不上場(chǎng)，小李才上場(chǎng)。

乙：如果小王上場(chǎng)，則小李上場(chǎng)。

丙：小王上場(chǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)小李不上場(chǎng)。

?。杭住⒁?、丙的話都不對(duì)。

解答：列表：

p q —pq p—q

真 真 假 真 假

真 假 真 假 真

假 真 真 真 真

假 假 真 真 假

由表可知，丁的話不能成立，因?yàn)榧?、乙、丙三人的話不可能同時(shí)為假。

分析：以往的真值表解題，大都是要求判定兩個(gè)判斷是否等值或是否矛盾。近來(lái)，一些真值表解題的要求有所改變，增加了試題考核的能力與難度層次。本例題就是一種類型。題目要求判定“丁的話是否成立”，實(shí)質(zhì)上是要判定甲、乙、丙的話能否同假。

此類題目往往以自然語(yǔ)句出現(xiàn)，又規(guī)定了要用真值表方法解題，所以答題時(shí)的要領(lǐng)有以下幾個(gè)：一是把自然語(yǔ)句正確形式化，二是準(zhǔn)確列出真值表，尤其是要小心求出判斷的真值，三是根據(jù)真值表作出判斷。

實(shí)例 2： 如果他是理科學(xué)生，他必學(xué)好數(shù)學(xué)。如果他不是文科
學(xué)生，他必是理科學(xué)生。他沒(méi)有學(xué)好數(shù)學(xué)。所以他是文科學(xué)生。
試用真值表法判斷此推理是否有效？2解：設(shè) P：他是理科學(xué)生，Q：他學(xué)好數(shù)學(xué)，R：他是文科學(xué)
生，則該命題推理的前提是：P → Q，┐ R → P，┐ Q；結(jié)論是：
R。于是，此題可以表述為：（P → Q）∧（┐ R → P）∧┐ Q R。
下面用真值表法來(lái)判斷此命題是否有效。（設(shè) E=（P → Q）∧
（┐ R → P）∧┐ Q）由上表知，當(dāng)命題（P → Q）∧（┐ R → P）∧┐ Q 的真
值為 1 時(shí)，R 的真值也是 1，所以，（P → Q）∧（┐ R → P）
∧┐ Q → R 是重言式，故該推理是有效的。