[科普中國]-常微分方程

概念

學過中學數(shù)學的人對于方程是比較熟悉的；在初等數(shù)學中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來，列出包含一個未知數(shù)或幾個未知數(shù)的一個或者多個方程式，然后取求方程的解。

但是在實際工作中，常常出現(xiàn)一些特點和以上方程完全不同的問題。比如：物質(zhì)在一定條件下的運動變化，要尋求它的運動、變化的規(guī)律；某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動機推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道，等等，要以現(xiàn)有數(shù)據(jù)求得出形式上的函數(shù)解析式，而不是以已知函數(shù)來計算特定的未知數(shù)。

物質(zhì)運動和它的變化規(guī)律在數(shù)學上是用函數(shù)關(guān)系來描述的，因此，這類問題就是要去尋求滿足某些條件的一個或者幾個未知函數(shù)。也就是說，凡是這類問題都不是簡單地去求一個或者幾個固定不變的數(shù)值，而是要求一個或者幾個未知的函數(shù)。

解這類問題的基本思想和初等數(shù)學解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來，從列出的包含未知函數(shù)的一個或幾個方程中去求得未知函數(shù)的表達式。但是無論在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)等方面，都和初等數(shù)學中的解方程有許多不同的地方。

在數(shù)學上，解這類方程，要用到微分和導數(shù)的知識。因此，凡是表示未知函數(shù)的導數(shù)以及自變量之間的關(guān)系的方程，就叫做微分方程。

微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學家雅各布·貝努利、歐拉、法國數(shù)學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

常微分方程的形成與發(fā)展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學的其他分支的新發(fā)展，如復變函數(shù)、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。

牛頓研究天體力學和機械動力學的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律。后來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理論逐步完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學分支。2

定義定義1：凡含有參數(shù)，未知函數(shù)和未知函數(shù)導數(shù) (或微分) 的方程，稱為微分方程，有時簡稱為方程，未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱作常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱作偏微分方程。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階。定義式如下：

定義2：任何代入微分方程后使其成為恒等式的函數(shù)，都叫做該方程的解.若微分方程的解中含有任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，且任意常數(shù)之間不能合并，則稱此解為該方程的通解(或一般解).當通解中的各任意常數(shù)都取特定值時所得到的解，稱為方程的特解。

一般地說，n 階微分方程的解含有 n個任意常數(shù)。也就是說，微分方程的解中含有任意常數(shù)的個數(shù)和方程的階數(shù)相同，這種解叫做微分方程的通解。通解構(gòu)成一個函數(shù)族。

如果根據(jù)實際問題要求出其中滿足某種指定條件的解來，那么求這種解的問題叫做定解問題，對于一個常微分方程的滿足定解條件的解叫做特解。對于高階微分方程可以引入新的未知函數(shù)，把它化為多個一階微分方程組。2

特點常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關(guān)幾點簡述一下，以了解常微分方程的特點。

求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，一旦求出通解的表達式，就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達式，了解對某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對應的解具有所需要的性能，還有助于進行關(guān)于解的其他研究。

后來的發(fā)展表明，能夠求出通解的情況不多，在實際應用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。當然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點轉(zhuǎn)移到定解問題上來。

一個常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個呢？這是微分方程論中一個基本的問題，數(shù)學家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因為如果沒有解，而我們要去求解，那是沒有意義的；如果有解而又不是唯一的，那又不好確定。因此，存在和唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的。

大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解。當然，這個近似解的精確程度是比較高的。另外還應該指出，用來描述物理過程的微分方程，以及由試驗測定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。2

應用現(xiàn)在，常微分方程在很多學科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。應該說，應用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發(fā)展，使這門學科的理論更加完善。3

發(fā)展20世紀以來，隨著大量的邊緣科學諸如電磁流體力學、化學流體力學、動力氣象學、半導體物理學、海洋動力學、地下水動力學等等的產(chǎn)生和發(fā)展，也出現(xiàn)不少新型的微分方程（特別是方程組）。70年代隨著數(shù)學向化學和生物學的滲透，出現(xiàn)了大量的反應擴散方程。

從“求通解”到“求解定解問題” 數(shù)學家們首先發(fā)現(xiàn)微分方程有無窮個解。常微分方程的解會含有一個或多個任意常數(shù)，其個數(shù)就是方程的階數(shù)。偏微分方程的解會含有一個或多個任意函數(shù)，其個數(shù)隨方程的階數(shù)而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常數(shù)或任意函數(shù)）作盡可能的變化，人們就可能得到方程所有的解，于是數(shù)學家就把這種含有任意元素的解稱為“通解”。在很長一段時間里，人們致力于“求通解”。但是以下三種原因使得這種“求通解”的努力，逐漸被放棄。第一，能求得通解的方程顯然是很少的。在常微分方程方面，一階方程中可求得通解的，除了線性方程、可分離變量方程和用特殊方法變成這兩種方程的方程之外，維數(shù)是很小的。高階方程中，線性方程仍可以用疊加原理求解，即n階齊次方程的通解是它的n個獨立特解的線性組合，其系數(shù)是任意常數(shù)。非齊次方程的通解等于相應齊次方程的通解加上非齊次方程的特解，這個特解并且可以用常數(shù)變易法通過求積分求得。求齊次方程的特解，當系數(shù)是常數(shù)時可歸結(jié)為求一代數(shù)方程的根，這個代數(shù)方程的次數(shù)則是原方程的階數(shù);當系數(shù)是變數(shù)時，則只有二種極特殊的情況（歐拉方程、拉普拉斯方程）可以求得。至于非線性高階方程則除了少數(shù)幾種可降階情形(如方程(1)就是這幾種情形都有的一個方程)之外，可以求得通解的為數(shù)就更小了。n階方程也可以化為一階方程組（未知函數(shù)的個數(shù)和方程的個數(shù)都等于 n）早已為人們所知，并且在此后起著一定作用，但對通解的尋求仍無濟于事。

在偏微分方程方面，一階方程可以歸結(jié)為一階常微分方程組，但是如上所述，一階常微分方程組可以求得通解的還是很少的。高階方程中幾乎只有少數(shù)二階方程（當用瀑布法時在一系列不變量中有一個開始為零的情形，和少數(shù)極個別的非線性方程等等）可以求得通解。在線性情形，推廣常數(shù)變易法則是杜阿美原理。3

分支學科算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何學、射影幾何學、拓撲學、分形幾何、微積分學、實變函數(shù)論、概率和數(shù)理統(tǒng)計、復變函數(shù)論、泛函分析、偏微分方程、數(shù)理邏輯、模糊數(shù)學、運籌學、計算數(shù)學、突變理論、數(shù)學物理學。1

實例下列方程都是微分方程 (其中 y, v均為未知函數(shù)).

(1) y'= kx, k 為常數(shù)；

(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；

(3) mv'(t) = mg - kv(t)；

解法一階微分方程的普遍形式一般形式：F（x,y,y'）=0

標準形式：y'=f(x,y)

主要的一階微分方程的具體形式1.可分離變量的一階微分方程

2.齊次方程

3.一階線性微分方程

4.伯努利微分方程

5.全微分方程