[科普中國]-轉(zhuǎn)置

矩陣

在數(shù)學(xué)中，矩陣（Matrix）是一個(gè)按照長方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合1，最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。這一概念由19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家凱利首先提出。

矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見工具，也常見于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡化矩陣的運(yùn)算。對一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準(zhǔn)對角矩陣，有特定的快速運(yùn)算算法。關(guān)于矩陣相關(guān)理論的發(fā)展和應(yīng)用，請參考矩陣?yán)碚?。在天體物理、量子力學(xué)等領(lǐng)域，也會出現(xiàn)無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。

數(shù)值分析的主要分支致力于開發(fā)矩陣計(jì)算的有效算法，這是一個(gè)幾個(gè)世紀(jì)以來的課題，是一個(gè)不斷擴(kuò)大的研究領(lǐng)域。 矩陣分解方法簡化了理論和實(shí)際的計(jì)算。 針對特定矩陣結(jié)構(gòu)（如稀疏矩陣和近角矩陣）定制的算法在有限元方法和其他計(jì)算中加快了計(jì)算。 無限矩陣發(fā)生在行星理論和原子理論中。 無限矩陣的一個(gè)簡單例子是代表一個(gè)函數(shù)的泰勒級數(shù)的導(dǎo)數(shù)算子的矩陣。

簡介

直觀來看，將A的所有元素繞著一條從第1行第1列元素出發(fā)的右下方45度的射線作鏡面反轉(zhuǎn)，即得到A的轉(zhuǎn)置。一個(gè)矩陣M, 把它的第一行變成第一列，第二行變成第二列，......,最末一行變?yōu)樽钅┮涣校?從而得到一個(gè)新的矩陣N。 這一過程稱為矩陣的轉(zhuǎn)置。通常記為或。

設(shè)A為m×n階矩陣（即m行n列），第i行j列的元素是 ，即：

定義A的轉(zhuǎn)置為這樣一個(gè)n×m階矩陣B，滿足 （B的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素）。記 。

基本性質(zhì)

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正交矩陣如果AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”）或ATA=E，則n階實(shí)矩陣A稱為正交矩陣。

正交矩陣是實(shí)數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是正規(guī)矩陣。盡管我們在這里只考慮實(shí)數(shù)矩陣，這個(gè)定義可用于其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內(nèi)積自然引出的，對于復(fù)數(shù)的矩陣這導(dǎo)致了歸一要求。

正交矩陣不一定是實(shí)矩陣。實(shí)正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實(shí)數(shù)）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但是存在一種復(fù)正交矩陣，復(fù)正交矩陣不是酉矩陣。

正交矩陣的一個(gè)重要性質(zhì)就是它的轉(zhuǎn)置矩陣就是它的逆矩陣。3

轉(zhuǎn)置矩陣在解題中的應(yīng)用1，一階矩陣的轉(zhuǎn)置不變

例1，設(shè)A為n階方陣,X=(x1,… ,xn)′，二次型f= X′AX的矩陣為何?

解 因?yàn)槲醇僭O(shè)A對稱，所以f= X′AX雖然是n元二次型，但不能肯定其矩陣是A。只有A對稱時(shí)，二次型f= X′AX的矩陣才是A。

由于一階矩陣的轉(zhuǎn)置不變,所以(X′AX)′=X′AX,即就是：X′A′X= X′AX。

由此可得:f= X′AX= X′*1/2*(A+ A′)*X。

注意到1/2(A+ A′)是對稱矩陣,所以二次型f= X′AX的矩陣為1/2(A+ A′)。

2，在正交矩陣?yán)铮?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/1U7bfalG2eHGEEXWROZ3fdjmfSK3rLyTyRvx.jpg" alt="" />

例2，設(shè)是n階正交矩陣,證明(i,j= 1,2,… n).其中Aij為aij的代數(shù)余子式。

證明

∵ A是正交矩陣,∴| A| =± 1，且

于是

當(dāng)A = 1時(shí)，(i,j= 1,2,… n)

當(dāng)A =- 1時(shí)，(i,j= 1,2,… n)

故(i,j= 1,2,… n)4