[科普中國(guó)]-等腰梯形

定義

一組對(duì)邊平行（不相等），另一組對(duì)邊不平行但相等的四邊形叫做等腰梯形。顧名思義，它是梯形的一種特殊情況，即兩腰相等的梯形。1在等腰梯形中，如圖1，平行的兩邊叫做梯形的底邊，較長(zhǎng)的一條底邊叫下底，即BC，較短的一條底邊叫上底，即AD。另外兩邊叫腰，即AB和CD。夾在兩底之間的垂線段叫梯形的高。

性質(zhì)1、等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等。

2、兩腰相等，兩底平行，對(duì)角線相等 。

3、由托勒密定理可得等腰梯形ABCD，如下圖，有 。

4、中位線長(zhǎng)是上下底邊長(zhǎng)度和的一半，如圖2，中位線為EF，且 。

5、兩條對(duì)角線相等，如圖2，即

6、等腰梯形的面積公式：S=(上底+下底)×高÷2。

7、特殊面積計(jì)算：當(dāng)對(duì)角線垂直時(shí)：如圖2， 。

8、等腰梯形對(duì)角線的平方等于腰的平方與上、下底積的乘積和，如圖2

9、等腰梯形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，只有一條對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)上下兩底中點(diǎn)的直線即為對(duì)稱(chēng)軸。2

判定1、一組對(duì)邊相等且不平行，另一組對(duì)邊平行的四邊形是等腰梯形。

2、同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。

3、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。

4、兩腰相等的梯形是等腰梯形

以下判定不作為定理使用：

5、對(duì)角線相等且能形成兩個(gè)等腰三角形的四邊形是等腰梯形。

6、對(duì)角互補(bǔ)的梯形是等腰梯形。

面積公式梯形的面積=（上底+下底）×高÷2；1

用、、分別表示梯形的上底、下底、高，“S”表示梯形的面積，則。

特殊情況：

1. 若對(duì)角線互相垂直，則面積為1/2 兩對(duì)角線的乘積。

2.在已知中位線情況下，中位線×高。

面積推導(dǎo)：

設(shè)有兩個(gè)完全一樣的等腰梯形，將這兩個(gè)梯形拼成一個(gè)平行四邊形，則

平行四邊形底=等腰梯形上底和下底之和，平行四邊形高=等腰梯形的高，設(shè)上底為，下底為，高為，則平行四邊形面積，所以等腰梯形面積。

周長(zhǎng)公式等腰梯形的周長(zhǎng)=上底+下底+2×腰 ，設(shè)等腰直角形上底為，下底為，腰為，高為，周長(zhǎng)為

（1）已知上底、下底、腰，計(jì)算周長(zhǎng)

。

（2）已知上底、下底、高

推導(dǎo)如下：

根據(jù)勾股定理，可求得腰長(zhǎng)為：

故，等腰梯形周長(zhǎng)為

常用輔助線如圖2，為一些常用的輔助線。

1、平移一腰。

2、過(guò)上底兩點(diǎn)向下底兩點(diǎn)做垂線。

3、延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)。

4、平移一條對(duì)角線。2