[科普中國(guó)]-解析函數(shù)

概述

解析函數(shù)analytic function

K.魏爾斯特拉斯將一個(gè)在圓盤上收斂的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)稱為解析函數(shù)，而區(qū)域上的解析函數(shù)是指在區(qū)域內(nèi)每一小圓鄰域上都能表成冪級(jí)數(shù)的和的函數(shù)。關(guān)于解析函數(shù)的不同定義在20世紀(jì)初被證明是等價(jià)的。基于魏爾斯特拉斯的定義，區(qū)域上的解析函數(shù)可以看作是其內(nèi)任一小圓鄰域上冪級(jí)數(shù)的解析開拓 ，關(guān)于解析開拓的一般定義是，f（z）與g（z）分別是D與D*上的解析函數(shù)，若DéD* ，且在D*上f（z）=g（z）。則稱f（z）是g（z）由D*到D的解析開拓 。解析開拓的概念可以推廣到這樣的情形 ：f（z）與g（z)分別是兩個(gè)圓盤D1與D2上的冪級(jí)數(shù)，且D1∩D2≠ ，在D1∩D2上f（z)=g（z )則也稱f與g互為解析開拓，把可以互為解析開拓的（ f（z），Δ）的解析圓盤Δ全連起來(lái)，作成一個(gè)鏈。它們的并記作Ω，得到了Ω上的一個(gè)解析函數(shù)，稱它為魏爾斯特拉斯的完全解析函數(shù)，這里可能出現(xiàn)這樣的情形，在連成一個(gè)鏈的圓盤中，有一些圓盤重疊在一起，但在這些重疊圓盤的每一個(gè)上的解析函數(shù)都是不一樣的，它們的每一個(gè)都稱為完全解析函數(shù)的分支。這樣的完全解析函數(shù)實(shí)際是一個(gè)多值函數(shù)。黎曼提出將多值解析函數(shù)中的那些重疊的圓盤看作是不同的“葉”，不使他們?cè)谇蟛⒌倪^(guò)程中只留下一個(gè)代表，于是形成了一種稱為黎曼面的幾何模型。將多值函數(shù)看作是定義于其黎曼曲面上的解析函數(shù)，這樣多值解析函數(shù)變成了單值解析函數(shù)。

半解析函數(shù)為研究解析函數(shù)所不能解決的一般復(fù)變函數(shù)提供了一個(gè)通用方法

解析函數(shù)是一類比較特殊的復(fù)變函數(shù)。200多年來(lái)，其核心定理“柯西-黎曼”方程組一直被數(shù)學(xué)界公認(rèn)是不能分開的。王見(jiàn)定發(fā)現(xiàn)，盡管解析函數(shù)已形成比較完善的理論并得到多方面的應(yīng)用，但自然界能夠滿足“柯西-黎曼”方程組條件的現(xiàn)象很少，使解析函數(shù)的應(yīng)用受到較大的限制。由此，尋找把“柯西-黎曼”方程組分開的途徑，并在1981年以《半解析函數(shù)》為題撰寫畢業(yè)論文。先后得出了一系列描述半解析函數(shù)特性的重要定理。發(fā)表了《半解析函數(shù)》.《半解析函數(shù)開拓》、《與半解析函數(shù)定義等價(jià)的幾個(gè)定理》、《復(fù)變函數(shù)分解定理》等多篇學(xué)術(shù)論文，終于初步形成了半解析函數(shù)理論。在這個(gè)理論中，王見(jiàn)定大膽地將“柯西-黎曼”方程組的兩個(gè)方程式分開，將滿足其中任一個(gè)方程式的函數(shù)定義為半解析函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)解析函數(shù)的推廣，為研究解析函數(shù)所不能解決的一般函數(shù)提供了一個(gè)通用的辦法。1

解析函數(shù)由Cauchy—Rieman方程組確定。今保留其中條件之一而引入半解析函數(shù),得到了一些結(jié)果,并找到了半解析函數(shù)的物理背景。

1983年王見(jiàn)定教授在世界上首次提出半解析函數(shù)理論，1988年又首次提出并系統(tǒng)建立了共軛解析函數(shù)理論；并將這兩項(xiàng)理論成功地應(yīng)用于電場(chǎng).磁場(chǎng).流體力學(xué).彈性力學(xué)等領(lǐng)域。此兩項(xiàng)理論受到眾多專家.學(xué)者的引用和發(fā)展，并由此引發(fā)雙解析函數(shù).復(fù)調(diào)和函數(shù).多解析函數(shù)（k階解析函數(shù)）.半雙解析函數(shù).半共軛解析函數(shù)以及相應(yīng)的邊值問(wèn)題.微分方程.積分方程等一系列新的數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生。1

共軛解析函數(shù)共軛作為一個(gè)符號(hào)早年早有，但作為一個(gè)“共軛解析函數(shù)類”，王見(jiàn)定教授世界首次提出。任何一個(gè)學(xué)過(guò)復(fù)變函數(shù)的人都知道，復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo).積分都是仿實(shí)變函數(shù)的求導(dǎo).積分形式推導(dǎo)出來(lái)的。解析函數(shù)之所以有價(jià)值，就在于它在電場(chǎng).磁場(chǎng).流體力學(xué).彈性力學(xué)等方面的應(yīng)用。但仔細(xì)考查，以上的應(yīng)用都是共軛解析函數(shù)的直接應(yīng)用，而非解析函數(shù).共軛導(dǎo)數(shù).共軛積分都有明確的物理.力學(xué)上直接含義（而解析函數(shù)沒(méi)有）。僅這一點(diǎn)王見(jiàn)定教授使西方數(shù)學(xué)大家示弱。共軛解析函數(shù)是和解析函數(shù)完全對(duì)稱的一類函數(shù)，這使得復(fù)變函數(shù)變得完美，眾人皆知對(duì)稱是科學(xué)的一個(gè)普遍的美。再者由于有了共軛解析函數(shù)類的提出，解析函數(shù)與共軛解析函數(shù)的不同組合才形成了復(fù)調(diào)和函數(shù).雙解析函數(shù).多解析函數(shù)...及相應(yīng)的微分方程.積分方程等一系列新的數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生。1

邊值問(wèn)題尋求滿足一定邊界條件的解析函數(shù)的一類問(wèn)題，這是解析函數(shù)論在許多理論和實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用極為廣泛的一個(gè)重要分支。下面是兩個(gè)最典型的例子。

黎曼邊值問(wèn)題設(shè)l為復(fù)平面上一組有向的光滑曲線，把平面分割為若干個(gè)連通區(qū)域,要求一分區(qū)全純函數(shù)(即在上述每一個(gè)連通區(qū)域內(nèi)全純）φ(z)使 (1)式中G(t),g(t)都是已知函數(shù)，而φ +(t)和φ -(t)分別表示當(dāng)z從l的正側(cè)（即沿l正向前進(jìn)時(shí)的左側(cè)）和負(fù)側(cè)(右側(cè))趨于l上一點(diǎn)時(shí)φ(z)的極限值亦即邊值。此外還應(yīng)補(bǔ)充要求φ(z)在無(wú)窮遠(yuǎn)處至多有一極點(diǎn)。如果l中含有開口弧段，則也應(yīng)說(shuō)明要求φ(z)在l的端點(diǎn)附近的性態(tài):具有不到一階的奇異性。在G(t),g(t)滿足一定的條件時(shí),這一問(wèn)題已完全解決。

希爾伯特邊值問(wèn)題設(shè)G為一區(qū)域，l為其邊界，取其正向使G在其左側(cè)，要求在G內(nèi)的一全純函數(shù)φ(z)，使 (2)式中α(t)，b(t),с(t)都是l上已給的實(shí)函數(shù)。特別,當(dāng)α(t)=1,b(t)=0時(shí)，則此希爾伯特邊值問(wèn)題就是解析函數(shù)的狄利克雷問(wèn)題。當(dāng)α(t),b(t),с(t)滿足一定的條件時(shí)，上述邊值問(wèn)題已有較完整的討論,但對(duì)G為多連通區(qū)域的情況還不能說(shuō)已完全徹底解決。

有人把黎曼邊值問(wèn)題稱作希爾伯特邊值問(wèn)題，而把希爾伯特邊值問(wèn)題稱作黎曼－希爾伯特邊值問(wèn)題。這兩個(gè)問(wèn)題是有密切聯(lián)系的，求解它們的主要工具都是柯西型積分。 進(jìn)一步推廣是在(1)或(2)中可以含有或者含有φ +(α(t)),φ -(α(t))，其中α(t)為l映于自身的一個(gè)同胚映射，保向或逆向，稱為l的位移。這樣,相應(yīng)的問(wèn)題就稱為帶共軛的或帶位移的邊值問(wèn)題，當(dāng)然也有既帶共軛又帶位移的邊值問(wèn)題。

如果把(1)或(2)中的φ(z)看作N維分區(qū)全純向量，而把G(t),α(t),b(t)看作N×N矩陣,g(t),с(t)也看作N維向量,則就構(gòu)成了分區(qū)全純向量的邊值問(wèn)題。這類問(wèn)題雖也有許多工作，但與N=1的情況相比較,還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到完善的地步。

由于解析函數(shù)概念可推廣為廣義解析函數(shù)（基于把解析函數(shù)的實(shí)部、虛部所滿足的柯西－黎曼方程組推廣為較一般的一階偏微分方程組），因此解析函數(shù)邊值問(wèn)題也可推廣為廣義解析函數(shù)邊值問(wèn)題，這是把函數(shù)論與偏微分方程結(jié)合起來(lái)的一個(gè)方向。

基本性質(zhì)奇點(diǎn)若函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0不解析，但在z0任一鄰域內(nèi)總有f(z)的解析點(diǎn)，則稱z0為f(z)的奇點(diǎn)。2

定理單連通域內(nèi)解析函數(shù)的環(huán)路積分為0。

復(fù)連通域內(nèi)，解析函數(shù)的廣義環(huán)路積分（即包括內(nèi)外邊界，內(nèi)邊界取順時(shí)針為正）為0。

解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍然是解析函數(shù)。

證明證明：設(shè)p為不是常數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，假設(shè)p沒(méi)有復(fù)數(shù)根，則1/p是C上的解析函數(shù)。并且當(dāng)z →∞時(shí)，p(z)→∞，或1/p→0，因此1/p是C上的有界解析函數(shù)，依據(jù)Liouville定理，任何這樣的函數(shù)都是常函數(shù)，

但若1/p是常數(shù)，那么p是常數(shù)，這與p不是常數(shù)的假設(shè)矛盾。

應(yīng)用解析函數(shù)邊值問(wèn)題和廣義解析函數(shù)邊值問(wèn)題在奇異積分方程方面有廣泛的應(yīng)用，它們?cè)趶椥粤W(xué)、流體力學(xué)方面也有重要的應(yīng)用。這些方面的理論及其應(yīng)用，主要是由蘇聯(lián)學(xué)者建立和發(fā)展起來(lái)的。自20世紀(jì)60年代以來(lái)，中國(guó)的數(shù)學(xué)工作者在這些方面也做了不少工作。3