[科普中國]-閔可夫斯基原理

布里西費爾特引理(Blichfeldt's Lemma)內(nèi)容

一張被分成邊長為1的網(wǎng)格紙，若其中有一面積大于n(n為自然數(shù))的封閉區(qū)域，則總可以平移(橫向縱向滑動而不旋轉)，使區(qū)域包含至少n+1個點。

證明假設在一方格網(wǎng)中，橫線與縱線相互垂直，且橫縱線間距都為1，一面積大于n的封閉區(qū)域A在方格中。將封閉區(qū)域A完全染色，則染色區(qū)域面積也大于n?，F(xiàn)在，沿網(wǎng)格將整個方格區(qū)域分成若干個1*1的小正方形，并且A區(qū)域任意一部分都在這若干個小正方形中。如果對任意一個小方格上下左右平移，那么方格內(nèi)圖形不變，恢復到原位置時，網(wǎng)格紙的圖形不會改變。將分開的正方形方格塊平移并疊放到一起，以保證除最上和最下兩個方格塊外其他方格上任意一點都有一個點對應。從最下方格的任意一點引一條垂直于方格面向上的射線，依次穿過每一個方格則射線與方格面的交點要么位于染色區(qū)域內(nèi)，要么位于染色區(qū)域外，二者必居其一且僅居其一。若任意一條射線與任意一個方格交點在被染色區(qū)域內(nèi)，則證明A區(qū)域在該方格內(nèi)有覆蓋，其面積一定大于0。又因為被分開的區(qū)域在面積為1的方格內(nèi)，所以面積最大為1(此時染色區(qū)域將方格全覆蓋)。假設引出的所有射線與方格交點中沒有使“與染色區(qū)域交點至少為n+1個”滿足，則焦點最多為n個。由單面積最大為1知，被染色區(qū)域面積最大為n。但這與條件面積大于n矛盾，所以假設不成立所以至少存在一條射線使與陰影交點至少為n+1個。

用一根無限細的針沿有(n+1)個交點的射線將方塊穿透記穿透陰影的點分別為P1, P2 ... Pn+1。取任意點Pk設其與上邊緣距離為a，與左邊緣距離為b。由重疊知，各正方形完全重合，則P1, P2 ... Pn+1點與上邊緣距離為a，與左邊緣距離為b。用平移的方式將方格恢復原狀，任取兩個交點Pi, Pj，設橫向間隔N個方格，縱向間隔M個方格。則兩點橫向間距為N*1 + b+(1-b)=N+1，縱向間距為M*1 + a+(1-a)=M+1。所以，任意兩點橫縱向間距都為整數(shù)。平移區(qū)域，使其中一點與網(wǎng)格點重合，由網(wǎng)格點間距整數(shù)知，各點與網(wǎng)格點重合。因這n+1個點在染色區(qū)域內(nèi)，所以區(qū)域A包含n+1個點，命題得證。

閔可夫斯基原理的證明任取一個關于原點對稱且面積大于1的封閉凸圖形，由布里西費爾特引理知，一定存在兩點，使橫縱坐標之差為整數(shù)。設其中一點坐標為(x0, y0)，另一點為(x0+k, y0+b)(k, b∈Z)，并且(x0, y0)、(x0+k, y0+b)都在圖形內(nèi)。因圖形關于原點對稱，所以對于任意點(x, y)，若其在圖形中，則關于原點的對稱點(-x, -y)也在圖形中。所以(-x0-k, -y0-b)在圖形中。連接點(x0, y0)和點(-x0-k, -y0-b)，取中點((x0+(-x0-k))/2, (y0+(-y0-b))/2)，由圖形為凸區(qū)域知，中點在圖形內(nèi)。將圖形以原點為位似中心，擴大兩倍。中點則為(k, b)，新圖形面積大于4，且中點是整點，位于圖形內(nèi)。

對于任意一個滿足條件的圖形，都可以先縮小，找到中點后擴大，這樣一定有一異于原點的整點在圖形內(nèi)，命題得證。

閔可夫斯基德國數(shù)學家赫爾曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生于俄國的 Alexotas (現(xiàn)在變成立陶宛的 Kaunas)。

他的主要工作是數(shù)論、代數(shù)和數(shù)學物理。在數(shù)論上，他對二次型進行了重要的研究。在1881年法國大獎中，Minkowski深入鉆研了高斯（Gauss）、狄利克雷（Dirichlet） 等人的論著。因為Gauss曾在研究把一個整數(shù)分解為三個平方數(shù)之和時用了二元二次型的性質，Minkowski由前人的工作中認識到把一個整數(shù)分解為五個平方數(shù)之和的方法與四元二次型有關。由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理論體系。這樣一來，原題就很容易從更一般的理論中得出，Minkowski交給法國科學院的論文長達140頁，遠遠超出了原題的范圍。

Minkowski 此后仍繼續(xù)研究n元二次型的理論。他透過三個不變量刻畫了有理系數(shù)二次型有理系數(shù)線性變換下的等價性，完成了實系數(shù)正定二次型的約化理論(1905)，現(xiàn)稱“Minkowski約化理論”。當Minkowski用幾何方法研究n元二次型的約化問題時，獲得了十分精彩而清晰的結果。他把用這種方法建立起來的關于數(shù)的理論為“數(shù)的幾何”， 其中包括著名的閔克夫斯基原理。1