[科普中國(guó)]-最小公倍數(shù)

定義

幾個(gè)數(shù)共有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中除0以外最小的一個(gè)公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

自然數(shù)a、b的最小公倍數(shù)可以記作[a,b],自然數(shù)a、b的最大公因數(shù)可以記作(a、b)，當(dāng)(a、b)=1時(shí),[a、b]= a×b。

如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則它們的最小公倍數(shù)就是較大的數(shù)，相鄰的兩個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積。

最小公倍數(shù)=兩數(shù)的乘積/最大公約（因）數(shù), 解題時(shí)要避免和最大公約（因）數(shù)問(wèn)題混淆。 最小公倍數(shù)的適用范圍：分?jǐn)?shù)的加減法，中國(guó)剩余定理(正確的題在最小公倍數(shù)內(nèi)有解，有唯一的解)。2因?yàn)椋財(cái)?shù)是不能被1和自身數(shù)以外的其它數(shù)整除的數(shù)；素?cái)?shù)X的N次方，是只能被X的N及以下次方，1和自身數(shù)整除．所以，給最小公倍數(shù)下一個(gè)定義：S個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，為這S個(gè)數(shù)中所含素因子的最高次方之間的乘積。如：1，求756，4400，19845，9000的最小公倍數(shù)？因756=2*2*3*3*3*7，4400=2*2*2*2*5*5*11，19845=3*3*3*3*5*7*7，9000=2*2*2*3*3*5*5*5，這里有素?cái)?shù)2，3，5，7，11．2最高為4次方16，3最高為4次方81，5最高為3次方125，7最高為2次方49，還有素?cái)?shù)11．得最小公倍數(shù)為16*81*125*49*11=87318000．2，自然數(shù)1至50的最小公倍數(shù)，因?yàn)?，?0≈7，所以，在50之內(nèi)的數(shù)只有≤7的素?cái)?shù)涉及N次方。在50之內(nèi)，2的最高次方的數(shù)為32，3的最高次方的數(shù)為27，5的最高次方的數(shù)為25，7的最高次方的數(shù)為49，其余為50之內(nèi)的素?cái)?shù)。所以，1，2，3，4，5，6，…，50的最小公倍數(shù)為：32*27*25*49*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47=3099044504245996706400

性質(zhì)及特點(diǎn)最小公倍數(shù)的性質(zhì)：公倍數(shù)(common multiple)指在兩個(gè)或兩個(gè)以上的自然數(shù)中，如果它們有相同的倍數(shù)，這些倍數(shù)就是它們的公倍數(shù)，其中除0以外最小的一個(gè)公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。2

最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)之間還存在著性質(zhì)：兩個(gè)自然數(shù)的乘積等于這兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。最小公倍數(shù)的計(jì)算要把三個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)和獨(dú)有質(zhì)因數(shù)都要找全，最后除到兩兩互質(zhì)為止。

最小公倍數(shù)特點(diǎn)：倍數(shù)的只有最小的沒(méi)有最大，因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的倍數(shù)可以無(wú)窮大。

最小公倍數(shù)計(jì)算方法：

1、分解質(zhì)因數(shù)法

2、公式法。

適用范圍分?jǐn)?shù)的加減法，中國(guó)剩余定理(正確的題在最小公倍數(shù)內(nèi)有解，有唯一的解)．

將最小公倍數(shù)應(yīng)用到實(shí)際中，稱之為最小公倍數(shù)法。最小公倍數(shù)法是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)術(shù)語(yǔ)，以各備選方案計(jì)算期的最小公倍數(shù)作為比選方案的共同計(jì)算期，并假設(shè)各個(gè)方案均在這樣一個(gè)共同的計(jì)算期內(nèi)重復(fù)進(jìn)行。3

計(jì)算方法1、分解質(zhì)因數(shù)法

先把這幾個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)寫出來(lái)，最小公倍數(shù)等于它們所有的質(zhì)因數(shù)的乘積（如果有幾個(gè)質(zhì)因數(shù)相同，則比較兩數(shù)中哪個(gè)數(shù)有該質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)較多，乘較多的次數(shù)）。

比如求45和30的最小公倍數(shù)。
45=3*3*5
30=2*3*5
不同的質(zhì)因數(shù)是2。5，3是他們兩者都有的質(zhì)因數(shù)，由于45有兩個(gè)3，30只有一個(gè)3，所以計(jì)算最小公倍數(shù)的時(shí)候乘兩個(gè)3.
最小公倍數(shù)等于2*3*3*5=90
又如計(jì)算36和270的最小公倍數(shù)
36=2*2*3*3
270=2*3*3*3*5
不同的質(zhì)因數(shù)是5。2這個(gè)質(zhì)因數(shù)在36中比較多，為兩個(gè)，所以乘兩次；3這個(gè)質(zhì)因數(shù)在270個(gè)比較多，為三個(gè)，所以乘三次。
最小公倍數(shù)等于2*2*3*3*3*5=540
20和40的最小公倍數(shù)是40

2、公式法

由于兩個(gè)數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積。即（a，b）×[a，b]=a×b。所以，求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，就可以先求出它們的最大公約數(shù)，然后用上述公式求出它們的最小公倍數(shù)。4

例如，求[18，20]，即得[18，20]=18×20÷（18，20）=18×20÷2=180。求幾個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)，可以先求出其中兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，再求這個(gè)最小公倍數(shù)與第三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，依次求下去，直到最后一個(gè)為止。最后所得的那個(gè)最小公倍數(shù)，就是所求的幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

示例**例題1：**兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是15,最小公倍數(shù)是90,求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？

15×1=15,15×6=90；當(dāng)a1b1分別是2和3時(shí),a、b分別為15×2=30,15×3=45。所以，這兩個(gè)數(shù)是15和90或者30和45。

**例題2：**兩個(gè)自然數(shù)的積是360,最小公倍數(shù)是120,這兩個(gè)數(shù)各是多少？

分析我們把這兩個(gè)自然數(shù)稱為甲數(shù)和乙數(shù)。因?yàn)榧住⒁覂蓴?shù)的積一定等于甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的積。根據(jù)這一規(guī)律，我們可以求出這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是360÷120=3。又因?yàn)椋住?=a,乙÷3=b)中,3×a×b=120,a和b一定是互質(zhì)數(shù)，所以,a和b可以是1和40,也可以是5和8。當(dāng)a和b是1和40時(shí)，所求的數(shù)是3×1=3和3×40=120；當(dāng)a和b是5和8時(shí)，所求的數(shù)是3×5=15和3×8=24。

**例題3：**甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數(shù)到圖書(shū)館去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他們?nèi)饲『迷趫D書(shū)館相會(huì)，問(wèn)至少再過(guò)多少天他們?nèi)擞衷趫D書(shū)館相會(huì)？

分析從第一次三人在圖書(shū)館相會(huì)到下一次再次相會(huì)，相隔的天數(shù)應(yīng)該是3、4、5的最小公倍數(shù)。因?yàn)?、4、5的最小公倍數(shù)是60,所以至少再過(guò)60天他們?nèi)擞衷趫D書(shū)館相會(huì)。

**例題4：**一塊磚長(zhǎng)20厘米，寬12厘米，厚6厘米。要堆成正方體至少需要這樣的磚頭多少塊？

分析把若干個(gè)長(zhǎng)方體疊成正方體，它的棱長(zhǎng)應(yīng)是長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的公倍數(shù)。現(xiàn)在要求長(zhǎng)方體磚塊最少，它的棱長(zhǎng)應(yīng)是長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的最小公倍數(shù)，求出正方體棱長(zhǎng)后，再根據(jù)正方體與長(zhǎng)方體體積之間的關(guān)系就能求出長(zhǎng)方體磚的塊數(shù)。

**例題5：**甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的環(huán)形跑道從同一地點(diǎn)同時(shí)同方向跑步，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間三人又同時(shí)從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)？

分析甲跑一圈需要600÷3=200秒，乙跑一圈需要600÷4=150秒，丙跑一圈需要600÷2=300秒。要使三人再次從出發(fā)點(diǎn)一齊出發(fā)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間一定是200、150和300的最小公倍數(shù)。200、150和300的最小公倍數(shù)是600,所以，經(jīng)過(guò)600秒后三人又同時(shí)從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)。

**應(yīng)用實(shí)例：**分元寶

亡故的先父留下遺囑，

共有遺產(chǎn)17個(gè)元寶，

老大得元寶的二分之一、 17/2=8.5

老二得元寶的三分之一、 17/3=5.66666

老三得元寶的九分之一、 17/9=1.8

問(wèn)他們每一個(gè)人分別應(yīng)該分幾個(gè)元寶？

在《一代大商孟洛川》中是這樣做的

孟洛川拿來(lái)一個(gè)元寶加上去

好了，開(kāi)始分元寶

答案是：老大9個(gè)元

寶、老二6個(gè)元寶、老三2個(gè)元寶。

很不可思議吧

很簡(jiǎn)單的初中數(shù)學(xué)題老大分1/2,老二分1/3,老三分1/9

這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)就是18,即9/18+6/18+2/18=17/18,就是說(shuō)他們老爺子給的這個(gè)比例和根本就沒(méi)到1,。即1-17/18=1/18,也就是說(shuō)，直接分，那是分不完17元寶的。這樣這要用18這個(gè)最小公倍數(shù)就能分開(kāi)，最后還剩一個(gè)。

編程實(shí)現(xiàn)CoffeeScript實(shí)現(xiàn)gcd = (a, b) -> # 最大公約數(shù) return gcd b, a if a # 求最小公倍數(shù) a * b / gcd(a, b)C#語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)public static float minGongBeiShu(intn1,intn2){int temp=Math.Max(n1,n2);n2=Math.Min(n1,n2);//n2中存放兩個(gè)數(shù)中最小的n1=temp;//n1中存放兩個(gè)數(shù)中最大的int product=n1*n2;//求兩個(gè)數(shù)的乘積while(n2!=0){n1=n1>n2?n1:n2;//使n1中的數(shù)大于n2中的數(shù)int m=n1%n2;n1=n2;n2=m;}return(product/n1);//最小公倍數(shù)}C語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)#includeint gcd(int a,int b);int lcm(int a,int b);int main(void){int m,n,result_gcd,result_lcm;printf("求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)？\n請(qǐng)輸入你想計(jì)算的兩個(gè)數(shù)：\n");scanf("%d%d",&m,&n);result_gcd=gcd(m,n);result_lcm=lcm(m,n);printf("最大公約數(shù)為：%d\n最小公倍數(shù)為：%d\n",result_gcd,result_lcm);return 0;}int gcd(int a,int b){int temp;if(a