[科普中國]-定積分

積分分類

**不定積分（**Indefinite integral）

即已知導數(shù)求原函數(shù)。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C為常數(shù)).也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因為F(x)+C的導數(shù)也是f(x)（C是任意常數(shù)）。所以f(x)積分的結果有無數(shù)個，是不確定的。我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定積分。即如果一個導數(shù)有原函數(shù)，那么它就有無限多個原函數(shù)。

定積分 （definite integral）

定積分就是求函數(shù)f(X)在區(qū)間[a,b]中的圖像包圍的面積。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。1

定義設函數(shù)f(x) 在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，將區(qū)間[a,b]分成n個子區(qū)間[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各區(qū)間的長度依次是：△x1=x1-x0，在每個子區(qū)間(xi-1,xi]中任取一點ξi（1,2,...,n），作和式 。該和式叫做積分和，設λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的區(qū)間長度），如果當λ→0時，積分和的極限存在，則這個極限叫做函數(shù)f(x) 在區(qū)間[a,b]的定積分，記為 ，并稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。2

其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間[a, b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積表達式，∫ 叫做積分號。

之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個常數(shù)， 而不是一個函數(shù)。

根據(jù)上述定義，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積分，則有n等分的特殊分法：

特別注意，根據(jù)上述表達式有，當[a,b]區(qū)間恰好為[0,1]區(qū)間時，則[0,1]區(qū)間積分表達式為：

性質(zhì)1、當a=b時，

2、當a>b時，

3、常數(shù)可以提到積分號前。

4、代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和。

5、定積分的可加性：如果積分區(qū)間[a,b]被c分為兩個子區(qū)間[a,c]與[c,b]則有

又由于性質(zhì)2，若f(x)在區(qū)間D上可積，區(qū)間D中任意c（可以不在區(qū)間[a,b]上）滿足條件。

6、如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≥0,則

7、積分中值定理：設f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點ε在（a，b)內(nèi)使

常用積分法換元積分法如果

（1） ;

（2）x=ψ(t)在[α,β]上單值、可導;

（3）當α≤t≤β時，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,

則

分部積分法設u=u(x),v=v（x)均在區(qū)間[a,b]上可導，且u′，v′∈R（[a,b]),則有分部積分公式：4

（見參考資料1）

分點問題定積分是把函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象[a,b]分成n份，用平行于y軸的直線把其分割成無數(shù)個矩形，再求當n→+∞時所有這些矩形面積的和。習慣上，我們用等差級數(shù)分點，即相鄰兩端點的間距Δx是相等的。但是必須指出，即使不相等，積分值仍然相同。我們假設這些“矩形面積和”

那么當n→+∞時，的最大值趨于0，所以所有的趨于0，所以S仍然趨于積分值.

利用這個規(guī)律，在我們了解牛頓-萊布尼茲公式之前，我們便可以對某些函數(shù)進行積分。例如我們可以證明對于函數(shù) 有

我們選擇等比級數(shù)來分點，令公比

且 那么“矩形面積和”

提取 ，則有

利用等比級數(shù)公式，得到

其中 設 令 ，則

令n增加，則s,q都趨于1，因而N的極限為（u+v)/v=u/v+1=k+1.

黎曼積分定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來說，就是把直角坐標系上的函數(shù)的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無數(shù)個矩形，然后把某個區(qū)間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數(shù)的圖象在區(qū)間[a,b]的面積。實際上，定積分的上下限就是區(qū)間的兩個端點a,b.

我們可以看到，定積分的本質(zhì)是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質(zhì)是求一個導函數(shù)的原函數(shù)。它們看起來沒有任何的聯(lián)系，那么為什么定積分要寫成積分的形式呢？

定理一般定理**定理1：**設f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。

定理2**：**設f(x)區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。

定理3：設f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)，則f(x)在[a,b]上可積。

牛頓-萊布尼茨公式定積分與不定積分看起來風馬牛不相及，但是由于一個數(shù)學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切關系。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個理論，可以轉(zhuǎn)化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內(nèi)容是：

如果f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并且有F′(x)=f(x)，那么

用文字表述為：一個定積分式的值，就是原函數(shù)在上限的值與原函數(shù)在下限的值的差。

正因為這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系，可見其在微積分學以至更高等的數(shù)學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。

應用1，解決求曲邊圖形的面積問題

例：求由拋物線 與直線 圍成的平面圖形D的面積S.

2，求變速直線運動的路程

做變速直線運動的物體經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t) (v(t)≥0)在時間區(qū)間[a,b]上的定積分。

3，變力做功

某物體在變力F=F(x)的作用下，在位移區(qū)間[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定積分。（見圖冊“應用”）