[科普中國]-同余定理

數(shù)論中的重要概念。給定一個正整數(shù)m，如果兩個整數(shù)a和b滿足a-b能夠被m整除，即(a-b)/m得到一個整數(shù)，那么就稱整數(shù)a與b對模m同余，記作a≡b(mod m)。對模m同余是整數(shù)的一個等價關系。1

理論背景數(shù)學上，兩個整數(shù)除以同一個整數(shù)，若得相同余數(shù)，則二整數(shù)同余（英文：Modular arithmetic，德文：Kongruenz）。同余理論常被用于數(shù)論中。最先引用同余的概念與符號者為德國數(shù)學家高斯。同余理論是初等數(shù)論的重要組成部分，是研究整數(shù)問題的重要工具之一，利用同余來論證某些整除性的問題是很簡便的。同余是數(shù)學競賽的重要組成部分。

公元972年，在一份阿拉伯手稿中，提出了這樣一個問題：一個正整數(shù)n何時能成為一個一個由三個有理平方數(shù)形成的等差數(shù)列的公差，也就是說x-n，x，x+n都是平方數(shù)。十三世紀，意大利數(shù)學家斐波那契指出5和7是同余數(shù)，他也猜想1、2、3不是同余數(shù)，但未能給出證明。直到1659年，法國大數(shù)學家費爾馬運用他自己發(fā)明的無窮下降法證明了1、2、3不是同余數(shù)。十八世紀，大數(shù)學家歐拉首次證明了7是同余數(shù)。1952年，Heegner證明了任意模8余5、7的素數(shù)和任意模4余3的素數(shù)的兩倍均為同余數(shù)。2000年，美國克雷數(shù)學研究所公布了千禧年七大數(shù)學難題，每破解其中一個難題者將獲得100萬美元的獎金。其中就有著名的BSD猜想（全稱Birch and Swinnerton-Dyer猜想），而這個猜想與同余數(shù)問題有緊密的聯(lián)系。2012年，田野證明了存在無窮多個具有任意指定素因子個數(shù)的同余數(shù)，這是在同余數(shù)問題上的一個根本性突破，也首次給出了解決BSD猜想的線索。2

同余符號兩個整數(shù)a、b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a與b對于模m同余或a同余于b模m。

記作：a≡b (mod m)，

讀作：a同余于b模m，或讀作a與b對模m同余，例如26≡2(mod 12)。

定義設m是大于1的正整數(shù)，a、b是整數(shù)，如果(a-b)|m，則稱a與b關于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a與b對模m同余。

顯然,有如下事實

（1）若a≡0(mod m)，則a|m；

（2）a≡b(mod m)等價于a與b分別用m去除，余數(shù)相同。

證明充分性：m|(a-b)→a≡b(mod m)。

設a=mq1+r1，b=mq2+r2，

且0≤r1,r2