[科普中國]-流數(shù)

流數(shù)(fluxion) 1665年5月20日，英國杰出物理學(xué)家牛頓第一次提出“流數(shù)術(shù)”（即微積分），后來世人就以這天作為“微積分誕生日”。牛頓將古希臘以來求解無窮小問題的種種特殊方法統(tǒng)一為兩類算法：正流數(shù)術(shù)（微分）和反流數(shù)術(shù)（積分），反映在1669年的《運(yùn)用無限多項(xiàng)方程》、1671年的《流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)》、1676年的《曲線求積術(shù)》三篇論文和《原理》一書中，以及被保存下來的1666年10月他寫的在朋友們中間傳閱的一篇手稿《論流數(shù)》中。

概述所謂“流量”就是隨時(shí)間而變化的自變量如x、y、s、u等，“流數(shù)”就是流量的改變速度即變化率，寫作等。他說的“差率”“變率”就是微分。與此同時(shí)，他還在1676年首次公布了他發(fā)現(xiàn)的二項(xiàng)式展開定理。牛頓利用它還發(fā)現(xiàn)了其他無窮級(jí)數(shù)，并用來計(jì)算面積、積分、解方程等等。牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)微積分是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。微積分是建立在實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的。

《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》編寫背景《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》(Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum)，英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家牛頓著。撰于1671年。這是牛頓在數(shù)學(xué)方面的代表作，其中將1666年10月的流數(shù)短論進(jìn)行了擴(kuò)充。其英譯本于1736年出版，但原拉丁文本直到1779年才出版。牛頓生前一直在利用這部著作，其手稿形式便由于一些數(shù)學(xué)家借閱而廣為人知1。

內(nèi)容簡介《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》對(duì)于牛頓的流數(shù)分析方法提供了比《運(yùn)用無窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)》更一般、更好的闡述。其前一部分包含了后一本書的擴(kuò)充，并且包括用于求解代數(shù)方程和微分方程的無窮級(jí)數(shù)法（待定系數(shù)法）的詳細(xì)討論。接著，以20個(gè)正式敘述的問題為標(biāo)題，相當(dāng)廣泛地收集了牛頓的級(jí)數(shù)法和流數(shù)法的應(yīng)用實(shí)例?！傲鲾?shù)法”反映了這一理論的力學(xué)背景，流數(shù)被定義為可借運(yùn)動(dòng)描述的連續(xù)量——流量的變化率。牛頓表述流數(shù)法的基本問題為：已知流量間的關(guān)系，求它們的流數(shù)的關(guān)系以及逆運(yùn)算。在“問題3一一極大值和極小值的確定”中，牛頓給出了下述原理：當(dāng)一個(gè)量取極大值或極小值時(shí)，它的流數(shù)既不增加也不減少……所以求出它的流數(shù)，并合迄今流數(shù)等于零。這里，牛頓的意思是，使f’(x)=0的點(diǎn)即是f（x）的極值點(diǎn)。他列舉了能用這種方法求解的9個(gè)幾何問題，如問題4是作曲線的切線。在該書中，牛頓繼續(xù)使用無窮小瞬作為流數(shù)計(jì)算的基礎(chǔ)，他記時(shí)間的瞬為0，它所引起的流量的瞬為 ， ，…他在具體計(jì)算中指出那些含0的項(xiàng)可被看作零而略去

《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》中還包括兩個(gè)積分表。第一個(gè)表的標(biāo)題是：“與直線圖形有關(guān)的曲線一覽表”，其中列出了相應(yīng)的面積能夠通過微分或反微分明確算出的一些曲線。第二個(gè)表是：“與圓錐曲線有關(guān)的曲線一覽表”，其中列出了一些曲線，其相應(yīng)的面積能夠通過適當(dāng)?shù)膱A錐曲線下的面積來表示。牛頓列舉了一些面積的計(jì)算，以說明他的積分表的應(yīng)用。

附錄在該著作的一個(gè)附錄（1969年才首次發(fā)表）中，牛頓發(fā)展了一種曲線的“最初與最終比”的幾何理論，后來部分地納入了1687年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》第一編第一章及后來的《論曲線的求積》中2。

流數(shù)出現(xiàn)的意義流數(shù)的出現(xiàn)，成了數(shù)學(xué)發(fā)展中除幾何與代數(shù)以外的另一重要分支——數(shù)學(xué)分析（牛頓稱之為“借助于無限多項(xiàng)方程的分析”），并進(jìn)一步進(jìn)進(jìn)發(fā)展為微分幾何、微分方程、變分法等等，這些又反過來促進(jìn)了理論物理學(xué)的發(fā)展。例如瑞士J.伯努利曾征求最速降落曲線的解答，這是變分法的最初始問題，半年內(nèi)全歐數(shù)學(xué)家無人能解答。1697年，一天牛頓偶然聽說此事，當(dāng)天晚上一舉解出，并匿名刊登在《哲學(xué)學(xué)報(bào)》上。伯努利驚異地說：“從這鋒利的爪中我認(rèn)出了雄獅”。

牛頓在前人工作的基礎(chǔ)上，提出“流數(shù)(fluxion)法”，建立了二項(xiàng)式定理，并和G.W.萊布尼茨幾乎同時(shí)創(chuàng)立了微積分學(xué)，得出了導(dǎo)數(shù)、積分的概念和運(yùn)算法則，闡明了求導(dǎo)數(shù)和求積分是互逆的兩種運(yùn)算，為數(shù)學(xué)的發(fā)展開辟了一個(gè)新紀(jì)元。目前在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)個(gè)分支中，有越來越廣泛的應(yīng)用。特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展3。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)