[科普中國(guó)]-柯西序列

在數(shù)學(xué)中，一個(gè)柯西序列是指一個(gè)這樣一個(gè)序列，它的元素隨著序數(shù)的增加而愈發(fā)靠近。更確切地說，在去掉有限個(gè)元素后，可以使得余下的元素中任何兩點(diǎn)間的距離的最大值不超過任意給定的正的常數(shù)?？挛髁惺且詳?shù)學(xué)家奧古斯丁·路易·柯西的名字命名的。

簡(jiǎn)介柯西列的定義依賴于距離的定義，所以只有在度量空間(metric space)中柯西列才有意義。在更一般的一致空間(uniform space)中，可以定義更為抽象的柯西濾子(Cauchy filter)和柯西網(wǎng)(Cauchy net)。1

一個(gè)重要性質(zhì)是，在完備空間（complete space）中，所有的柯西列都有極限，這就讓人們可以在不求出這個(gè)極限（如果存在）的情況下，利用柯西列的判別法則證明該極限是存在的?？挛髁性跇?gòu)造具有完備性的代數(shù)結(jié)構(gòu)的過程中也有重要價(jià)值，如構(gòu)造實(shí)數(shù)。

復(fù)數(shù)序列一個(gè)復(fù)數(shù)序列

被稱為柯西列，如果對(duì)于任何正實(shí)數(shù)r>0，存在一個(gè)正整數(shù)N使得對(duì)于所有的整數(shù)，都有

其中的豎線表示絕對(duì)值或模。

類似地，我們可以定義實(shí)數(shù)的柯西列。

度量空間中為了將柯西列的定義推廣到一般的度量空間，必須將絕對(duì)值替換為該度量空間中的距離。

形式上說，給定任何一個(gè)度量空間(M,d)，一個(gè)序列

被稱為柯西列，如果對(duì)于任何正實(shí)數(shù)r>0，存在一個(gè)正整數(shù)N使得對(duì)于所有的整數(shù)m,n>N，都有

其中d(x,y)表示x和 y之間的距離。

直觀上說，一個(gè)序列中的元素越來越靠近似乎說明這個(gè)序列必然在這個(gè)度量空間存在一個(gè)極限，而事實(shí)上在某些情況下這個(gè)結(jié)論是不對(duì)的。

例子對(duì)于有絕對(duì)值作為范數(shù)的有理數(shù)空間，定義數(shù)列：滿足：。這個(gè)數(shù)列趨于，但不屬于，因此這個(gè)數(shù)列不收斂。2

對(duì)于所有多項(xiàng)式組成的空間，定義每個(gè)多項(xiàng)式的范數(shù)是其系數(shù)絕對(duì)值的最大值，兩個(gè)多項(xiàng)式之間的距離則是它們的差的范數(shù)?？紤]多項(xiàng)式列：，滿足：。這個(gè)多項(xiàng)式列中，對(duì)任意，趨于零，因此它是一個(gè)柯西列。但這個(gè)柯西列顯然不收斂，因?yàn)樗脑卮螖?shù)趨于無窮。

性質(zhì)完備性一個(gè)度量空間X中的所有柯西數(shù)列都會(huì)收斂到X 中的一點(diǎn) ，那么X被稱為是一個(gè)完備空間。2

例子：實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)是完備的，而且標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)數(shù)構(gòu)造包含有理數(shù)的柯西列。

反例：有理數(shù)

有理數(shù)Q在通常定義的距離意義下不是完備的：

存在某個(gè)由有理數(shù)組成的序列，收斂到某個(gè)無理數(shù)，所以這數(shù)列在有理數(shù)這空間是不收斂的。

例如：

如下定義的序列：，即。可以證明這個(gè)序列收斂到一個(gè)無理數(shù)。

對(duì)于每個(gè)給定的而言，以下函數(shù)的值都可以表示為一個(gè)有理數(shù)序列的極限，但當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，這個(gè)值卻是無理數(shù)。

其他性質(zhì)任何收斂數(shù)列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。

如果是一個(gè)由度量空間 M到度量空間N的一致連續(xù)的映射，并且是 M中的柯西列，那么也必然是N中的柯西列。

如果和是有理數(shù)、實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)構(gòu)成的柯西列，那么和也是柯西列。

推廣拓?fù)湎蛄靠臻g在一個(gè)拓?fù)湎蛄靠臻gX中同樣可以定義一個(gè)柯西列：在X選擇一個(gè)0局部基B，如果對(duì)于B中的任何元素V，存在一個(gè)正整數(shù)N使得對(duì)于任意的m,n>N而言，序列滿足，那么這個(gè)序列就稱為一個(gè)柯西列。

如果這個(gè)拓?fù)湎蛄靠臻gX上有恰好可以引入一個(gè)平移不變度量d，那么上述方法定義的柯西列和利用這個(gè)度量d定義的柯西列是等價(jià)的。

群中在一個(gè)群中，同樣可以定義柯西列：

令表示一列有限指標(biāo)的遞減的G的正規(guī)子群，那么群G中一個(gè)序列稱為柯西列（對(duì)于上述 H而言），當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的r，存在正整數(shù)N使得對(duì)于任意的 m,n>N，都有。

如果用C表示所有的這樣定義的柯西列組成的集合，那么C在序列點(diǎn)點(diǎn)相乘的意義下構(gòu)成一個(gè)新的群。而且，即所有空序列（對(duì)于任意r，存在N使得對(duì)于任意n>N，都有）構(gòu)成了C的正規(guī)子群。而商群稱為G相對(duì)于H的完備化。

可以證明，這個(gè)完備化同構(gòu)與序列的逆向極限同構(gòu)。

如果H是個(gè)共尾序列（即任何有限的正規(guī)子群均包含某個(gè)），那么這個(gè)完備化在與的逆極限同構(gòu)的意義下是規(guī)范的，這里的H跑遍所有有限的正規(guī)子群。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)