[科普中國]-微分算子

在數(shù)學(xué)中，微分算子是定義為微分運算之函數(shù)的算子。首先在記號上，將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的，它接受一個函數(shù)得到另一個函數(shù)（以計算機(jī)科學(xué)中高階函數(shù)的方式）。1

描述在數(shù)學(xué)中，微分算子是定義為微分運算之函數(shù)的算子。首先在記號上，將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的，它接受一個函數(shù)得到另一個函數(shù)（以計算機(jī)科學(xué)中高階函數(shù)的方式）。

當(dāng)然也有理由不單限制于線性算子；例如施瓦茨導(dǎo)數(shù)是一個熟知的非線性算子。不過這里只考慮線性情形。

記號最常用的微分算子是取導(dǎo)數(shù)自身。這個算子的常用記號包括：d/dx,D，這里關(guān)于哪個變量微分是清楚的，以及Dx，這里指明了變量。一階導(dǎo)數(shù)如上所示，但當(dāng)取更高階n-次導(dǎo)數(shù)時，下列替代性記號是有用的：dn/dxn,Dn,Dxn。1

記號D的發(fā)明與使用歸于奧利弗·亥維賽，他在研究微分方程中考慮了如下形式的微分算子

另一個最常見的微分算子是拉普拉斯算子，定義為

另一個微分算子是Θ算子，定義為

有時候這也稱為齊次算子，因為它的本征函數(shù)是關(guān)于z的單項式：

在n個變量中齊次算子由

給出。與單變量一樣，Θ的本征空間是齊次多項式空間。

性質(zhì)（1）微分是線性的，即1

D(f+g)=(Df)+(Dg)

D(af)=a(Df)

這里f和g是函數(shù)，而a是一個常數(shù)。

（2）任何以函數(shù)為系數(shù)之D的多項式也是一個微分算子。我們也可以通過法則

（3）復(fù)合微分算子。需要一些注意：首先算子D2中的任何函數(shù)系數(shù)必須具有D1所要求的可微次數(shù)。為了得到這樣運算的一個環(huán)，我們必須假設(shè)所用的系數(shù)的所有階導(dǎo)數(shù)。第二，這個環(huán)不是交換的：一個算子gD一般與Dg不同。事實上我們有例，如在量子力學(xué)中的基本關(guān)系：

Dx-xD=1

但這些算子的子環(huán)：D的常系數(shù)多項式是交換的。它可以另一種方式刻畫：它由平移不變算子組成。

（4）微分算子也服從移位定理（shift theorem），即

算子的伴隨給定一個線性微分算子T，，這個算子的伴隨定義為算子使得

這里記號表示數(shù)量積或點積。從而此定義取決于數(shù)乘的定義。

單變量在平方可積函數(shù)空間中，數(shù)量積定義為

如果另外增添要求f或g當(dāng)等于零，我們也可定義T的伴隨為

此公式不明顯地取決于數(shù)量積的定義，故有時作為伴隨算子的一個定義。當(dāng)用這個公式定義時，它稱為T的形式伴隨。

一個（形式）自伴算子是與它的（形式）伴隨相等的算子。

多變量如果Ω是R中一個區(qū)域，而P是Ω上一個微分算子，則P在L(Ω)中的伴隨由對偶性以類似的方式定義：

對所有光滑L函數(shù)f與g。因為光滑函數(shù)在L中是稠密的，這在L的一個稠密子集上定義了伴隨：: P是一個稠定算子。

例子施圖姆-劉維爾算子是形式自伴算子一個熟知的例子。這個二階微分算子L可以寫成如下形式

這個性質(zhì)可用上面的形式自伴的定義來證明。

應(yīng)用在物理科學(xué)的應(yīng)用中，像拉普拉斯算子在建立與求解偏微分方程中起著主要的作用。

在微分拓?fù)渲?，外?dǎo)數(shù)與李導(dǎo)數(shù)算子有內(nèi)蘊意義。

在抽象代數(shù)中，導(dǎo)子的概念是微分算子不要求分析的一個推廣。通常這樣的推廣用于代數(shù)幾何與交換代數(shù)。

相關(guān)條目差分算子

Delta operator

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分?jǐn)?shù)微積分

不變微分算子

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學(xué)