[科普中國]-仿射微分幾何學(xué)

仿射微分幾何學(xué)(affine ldifferential geometry)是一門古典的微分幾何，屬于微分幾何學(xué)的一個分支，從屬于仿射變換群。內(nèi)容包括曲線和曲面在仿射變換群下的不變量、協(xié)變圖形及其性質(zhì)等，它興起于20世紀(jì)20年代初，由德國數(shù)學(xué)家布拉施克等人創(chuàng)建。

基本內(nèi)容仿射微分幾何學(xué)是微分幾何學(xué)的一個分支，從屬于仿射變換群。內(nèi)容包括曲線和曲面在仿射變換群下的不變量、協(xié)變圖形及其性質(zhì)。興起于20世紀(jì)20年代初，由德國數(shù)學(xué)家布拉施克等人創(chuàng)建。布拉施克的《微分幾何講義》(1921-1945) 第2卷專論仿射微分幾何，得到仿射長度、仿射曲率、仿射撓率、仿射主法線、仿射副法線等與歐幾里得幾何同樣的結(jié)果，還論述了仿射極小曲面，曲線、曲面的大范圍性質(zhì)等問題，其方法同射影微分幾何學(xué)的富比尼方法相類似，分別使用了自然方程和基本微分形式，從而導(dǎo)出空間曲線和曲面論的基本定理。其基本思想源于C.F.克萊因的“埃朗根綱領(lǐng)”(1872年)，即將幾何學(xué)歸結(jié)為可逆變換群的幾何不變量理論加以分類，而討論方法則依賴于高斯對曲面論所采取的基本形式1。

發(fā)展歷程20世紀(jì)20年代末期，仿射微分幾何學(xué)的研究主要集中在仿射曲面論的幾何結(jié)構(gòu)、仿射鑄曲面與仿射旋轉(zhuǎn)曲面論的引進(jìn)、仿射曲面論和射影曲面論間的若干關(guān)系等方面，使這門學(xué)科趨于完善。較早的專著有薩爾科夫斯基(E.Salkowski) 的《仿射微分幾何》(1934)。到20世紀(jì)60 年代原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家希羅科夫出版專著《仿射微分幾何學(xué)》(1962)，匯總了這幾十年的研究成果，并附有詳細(xì)的文獻(xiàn)表。中國數(shù)學(xué)家蘇步青從20世紀(jì)20年代后期從事仿射微分幾何學(xué)研究，發(fā)現(xiàn)了仿射鑄面、仿射旋轉(zhuǎn)面和某些特殊族的曲面，并發(fā)展了仿射曲面論，20世紀(jì)70年代又在計算幾何中創(chuàng)造了仿射不變量理論，并應(yīng)用于造船工業(yè)中的船體數(shù)學(xué)放樣，收到顯著效果。1982年他出版專著《仿射微分幾何》，較完整地論述了這一學(xué)科的全貌，其中包括關(guān)于仿射曲面論的幾何結(jié)構(gòu)、仿射旋轉(zhuǎn)面論及其在高維仿射空間的拓廣和規(guī)范直線成為仿射法線的曲面族等方面的研究1。

仿射變換群仿射變換群(affine transformation group)簡稱仿射群，是一類基本的變換群，即由仿射空間中全體仿射變換所構(gòu)成的變換群。例如，平面上的全體仿射變換構(gòu)成平面上的仿射變換群，它是平面射影變換中以無窮遠(yuǎn)直線為絕對形的自同構(gòu)群?？臻g中全體仿射變換構(gòu)成空間的仿射變換群，它是空間射影變換中以無窮遠(yuǎn)平面為絕對形的自同構(gòu)群。研究在仿射群下不變性質(zhì)與不變量的幾何稱為仿射幾何。

微分幾何學(xué)微分幾何學(xué)(differential geometry)簡稱微分幾何，是數(shù)學(xué)的一個重要分支，主要研究可微分的形體(曲線、曲面、微分流形等)的幾何性質(zhì)。微分幾何幾乎與微積分同時產(chǎn)生和發(fā)展.當(dāng)初，牛頓(I.Newton)和萊布尼茨(G.W.Leibniz)創(chuàng)立微積分的動機(jī)之一，就是為了解決計算一般曲線的切線和長度、曲線所圍區(qū)域的面積等幾何問題.微分幾何的第一本著作當(dāng)推蒙日(G.Monge)的《分析對幾何的應(yīng)用》，他和歐拉(L.Euler)及他們的學(xué)生們對微分幾何的早期發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).曲面論的真正基礎(chǔ)是由高斯(C.F.Gauss)奠定的，他于1827年出版了專著《關(guān)于彎曲曲面的一般研究》，書中證明：曲面的總曲率由它的第一基本形式完全確定。這就是曲面論的高斯方程，被稱為極妙定理.從此以后，微分幾何不再僅僅是微積分的一種應(yīng)用，而成為數(shù)學(xué)的一個獨(dú)立分支。

高斯建立的僅與曲面第一基本形式有關(guān)的內(nèi)蘊(yùn)幾何是微分幾何發(fā)展史上的一次關(guān)鍵性的突破，這一思想后來被黎曼((G.F.)B.Riemann)發(fā)揚(yáng)光大.黎曼于1854年在格丁根大學(xué)發(fā)表了題為“關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)”的就職演說，奠定了黎曼幾何的基礎(chǔ).他發(fā)展了空間的概念，把后來稱之為黎曼度量的對稱正定二次微分形式賦予n維流形，并以此作為幾何學(xué)的出發(fā)點(diǎn).這就包括了一大類非歐幾何(如橢圓幾何、雙曲幾何(又稱羅巴切夫斯基幾何))。正是黎曼幾何被愛因斯坦(A.Einstein)用來建立廣義相對論，并且相對論反過來促進(jìn)了黎曼幾何學(xué)的發(fā)展。

克萊因(Klein，(C.)F.)于1870年在他的《埃爾朗根綱領(lǐng)》(Erlanger program)中提出，幾何學(xué)應(yīng)是研究空間在變換群作用下不變的性質(zhì).根據(jù)不同的變換群，就有歐氏幾何、射影幾何、仿射幾何、共形幾何等。這種用群論觀點(diǎn)統(tǒng)一幾何學(xué)的思想，在《埃爾朗根綱領(lǐng)》發(fā)表后的半個世紀(jì)內(nèi)，成了幾何學(xué)的指導(dǎo)思想.20世紀(jì)初期，射影微分幾何的研究相當(dāng)活躍，產(chǎn)生了以威爾辛斯基(E.J.Wilczynski)為代表的美國學(xué)派，以富比尼(G.Fubini)為代表的意大利學(xué)派和以蘇步青教授為代表的中國學(xué)派。仿射微分幾何和共形微分幾何的決定性工作是由布拉施克(W.J.E.Blaschke)所做的.融黎曼和克萊因之思想于一體的是嘉當(dāng)(E.Cartan)，他把李群和微分幾何結(jié)合起來，視聯(lián)絡(luò)為廣義空間(纖維叢的前身)的主要幾何對象，成功地發(fā)展了外微分理論和活動標(biāo)架法.尤其是李群在流形上的作用，導(dǎo)致了齊性空間和對稱空間的深入研究.這些都為現(xiàn)代微分幾何奠定了基礎(chǔ)。黎曼幾何還有另外的推廣，即把作為空間度量的正定二次型用更一般的正二次齊次函數(shù)來代替，其實(shí)這也是黎曼的本意。這種度量空間被芬斯勒(P.Finsler)、楞特(H.Rund)等發(fā)展成芬斯勒幾何。

20世紀(jì)40年代以后，微分幾何的一個發(fā)展趨勢是研究空間或流形的整體性質(zhì)，尤其是局部性質(zhì)與整體性質(zhì)的聯(lián)系.著名的高斯-博內(nèi)公式即是一例，陳省身在高維黎曼流形上的推廣方面做出了重要貢獻(xiàn).霍奇(W.V.D.Hodge)的調(diào)和積分理論和德·拉姆(G.-W. de Rham)的上同調(diào)理論揭示了微分流形上微分結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和黎曼結(jié)構(gòu)之間的深刻聯(lián)系，具有十分重要的意義.在一定幾何條件下，根據(jù)調(diào)和理論，可用博赫納(S.Bochner)方法得出各種消沒定理.這就是所謂博赫納技巧.黎曼流形上的測地線理論是整體黎曼幾何學(xué)的核心之一。從測地線的無限延伸要求引出黎曼流形的完備性概念，霍普夫(H.Hopf)和里諾(W.Rinow)對此作出了貢獻(xiàn).完備性是整體微分幾何研究中對流形所加的最起碼和最自然的假設(shè)，它比緊致性更弱.測地線的變分理論導(dǎo)致了黎曼流形上各種曲率與拓?fù)涞纳羁探Y(jié)果.進(jìn)一步的發(fā)展包括著名的球面定理，非負(fù)曲率的完備流形和非正曲率的緊致流形的結(jié)構(gòu)等。測地線理論也促進(jìn)了流形上分析的發(fā)展。

微分幾何的另一重要研究方向是等距浸入和子流形幾何。1926年，雅內(nèi)特(N.Janet)和嘉當(dāng)分別獨(dú)立證明了任何n維解析黎曼流形均可局部等距嵌入到n(n+1)/2維歐氏空間中，但是，若去掉流形的解析性要求，問題至今尚未完滿解決.尤其是高斯曲率變號的二維黎曼流形是否總可以局部等距嵌入三維歐氏空間中，仍是一個令人感興趣的問題。關(guān)于整體等距嵌入問題，納什(J.F.Nash)于1954-1956年給出了一般性結(jié)果：任何完備(緊致)黎曼流形均可整體等距嵌入到充分高維數(shù)的歐氏空間中作為子流形.納什的方法后來對非線性分析產(chǎn)生重要影響.雖然有納什的結(jié)果，但對于一個具體的黎曼流形，要確定它能等距嵌入進(jìn)去的歐氏空間的最低維數(shù)，仍是一個相當(dāng)困難的問題。黎曼流形的子流形幾何是古典曲面論的直接推廣，子流形的第二基本形式起著十分重要的作用.第二基本形式的跡稱為子流形的平均曲率(向量).如同曲面論一樣，平均曲率為零的子流形稱為極小子流形.極小子流形具有明顯的幾何變分特征，它是體積泛函的臨界點(diǎn).極小子流形，特別是極小曲面，它們的整體存在性、惟一性和分類問題是子流形研究中最重要和最有吸引力的一個課題。

幾何變分問題在現(xiàn)代微分幾何中越來越占有重要的地位，這不僅在于它具有深刻的幾何背景，而且還在于它和眾多的其他數(shù)學(xué)分支相關(guān)聯(lián)，如變分學(xué)、偏微分方程、近世代數(shù)、非線性分析、多復(fù)變函數(shù)論等。此外它還和理論物理、生物工程等相溝通。調(diào)和映射便是近年來發(fā)展十分迅速的一類幾何變分問題.黎曼流形間的調(diào)和映射是其能量泛函的臨界點(diǎn).當(dāng)起始流形為1維時便化為測地線.調(diào)和的等距浸入便是極小子流形.調(diào)和映射的第一個整體存在性定理是由伊爾斯(J.Eells)和桑普森(J.H.Sampson)于1964年共同給出的。從調(diào)和理論觀點(diǎn)來看，調(diào)和映射是調(diào)和的1形式.其他重要的幾何變分問題還有楊-米爾斯場、愛因斯坦度量、克勒-愛因斯坦度量等.它們不僅對現(xiàn)代微分幾何學(xué)，而且對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展都起了很大的促進(jìn)作用。

微分幾何是一門既古老又年輕的學(xué)科，它的新概念和新方法層出不窮.今天，無論在基礎(chǔ)理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上，都日益顯示出它的強(qiáng)大生命力.著名幾何學(xué)大師陳省身教授說：“我希望它不要像其他一些數(shù)學(xué)分支那樣被公理化.保持它跟數(shù)學(xué)中別的分支以及其他學(xué)科的許多領(lǐng)域的聯(lián)系，保持著它把局部和整體相結(jié)合的精神。它在今后長時期中仍將是一片肥沃的疆域。”

仿射幾何學(xué)仿射幾何學(xué)(affine geometry)是研究圖形在仿射變換下不變性質(zhì)的幾何學(xué)。所謂仿射變換是仿射平面(或空間)到自身的一類變換，它最重要的特性是保持點(diǎn)的共線性(或共面性)以及保持直線的平行性。其中仿射空間是這樣定義的：設(shè)V是一個n維向量空間，A是一個集合，其中的元素被稱為點(diǎn)，如果對A中每兩個點(diǎn)P、Q都唯一對應(yīng)著V中的一個向量 ，并且這種對應(yīng)規(guī)則還滿足：① (V中零向量);②任給P點(diǎn)和V中向量a，總唯一存在點(diǎn)Q使 ;③對A中任意三點(diǎn) ，成立 ，則稱A為一個n維仿射空間。 時，稱之為仿射平面。由此可見，仿射幾何是一般歐氏幾何的一種擴(kuò)展。在仿射變換下，直線變?yōu)橹本€，平行直線變?yōu)槠叫兄本€，但長度與角的大小要改變。這種變換最先由18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉注意到，他在論述解析幾何與微分幾何的坐標(biāo)變換時涉及到仿射坐標(biāo)變換問題。19世紀(jì)初，德國數(shù)學(xué)家麥比烏斯在《重心的計算》(1827)一書中引入仿射幾何的若干基本概念，并以淺顯易懂和清晰嚴(yán)格的論述表達(dá)了這一新理論。他同時論述了射影幾何理論，在仿射空間中引入無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，并且將它們與原有點(diǎn)不加區(qū)別，就成為射影空間。由此可見，仿射空間是作為射影空間的一個特例進(jìn)行討論的。麥比烏斯用它來計算物體的重心，后人將它用于形變力學(xué)的研究。麥比烏斯引入的直射變換就是將直線變?yōu)橹本€的仿射變換，他證明了每一個直射變換都是一個射影變換。1872年德國數(shù)學(xué)家C. F.克萊因用變換群的觀點(diǎn)研究幾何學(xué)，將幾何學(xué)看作是某種元素對于變換群的不變量理論。據(jù)此，射影幾何學(xué)就是圖形元素關(guān)于射影群不變量的理論，而仿射變換構(gòu)成的群就成為射影變換群的一個子群。20世紀(jì)20年代仿射幾何學(xué)再發(fā)新支，由研究曲線和曲面在仿射變換群下不變的性質(zhì)而建立起仿射微分幾何學(xué)，豐富了仿射幾何學(xué)的內(nèi)容1。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學(xué)