[科普中國]-有效域

在數(shù)學的一個分支——凸分析中，有效域是對定義域的擴展。如果一個凸函數(shù)映射到一般的實數(shù)域，則其有效域等價于一般的定義域。

定義 給定一個向量空間X，則一個映射到擴展的實數(shù)域的凸函數(shù)的有效域被定義為：

對于凹函數(shù)，其有效域為：

有效域的一個等價說法是上鏡圖的投影，即：

注意，如果一個凸函數(shù)映射到一般的實數(shù)域，即 ，則其有效域等價于一般的定義域。

函數(shù) 是適當?shù)耐购瘮?shù)，當且僅當f是凸的,f的有效域非空，且對于任意 有 。1

定義域概述定義域（Domain），是函數(shù)自變量所有可取值的集合。給定函數(shù) ，其中 被稱為是 的定義域。 映射到陪域中的所有值的集合稱為 的值域，記作 。

例如，函數(shù) 在 時沒有定義。它的定義域可以是 。在此情形下，若補充定義 ，則 的定義域就可以是全體實數(shù) 。

任何函數(shù)都可以被限制到其定義域的子集上。限制函數(shù) 到 上，其中 ，可以記作 。2

相關條目陪域

值域

單射

滿射

雙射

凸函數(shù)凸函數(shù)是一個定義在某個向量空間的凸子集（區(qū)間）上的實值函數(shù)，如果在其定義域上的任意兩點，以及，有

也就是說，一個函數(shù)是凸的當且僅當其上境圖（在函數(shù)圖像上方的點集）為一個凸集。

如果對于任意的有，函數(shù)是嚴格凸的。

若對于任意的，其中，都有，則稱函數(shù)是幾乎凸的。3

凹函數(shù)一個有實值函數(shù)f在某區(qū)間中（或者在某個向量空間中的凹集），任意x和y在[0,1]中的任意t，如果：那么這就是一個嚴謹?shù)陌己瘮?shù)，當中x≠y和t是落于(0,1)。

某函數(shù)，在x和y之間的每一點z，在圖中的點(z,f(z) )是在以點(x,f(x) ) and (y,f(y) )連成的直線之上。4

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學