[科普中國(guó)]-群作用

數(shù)學(xué)上，對(duì)稱群描述物體的所有對(duì)稱性。這是通過群作用的概念來形式化的：群的每個(gè)元素作為一個(gè)雙射（或者對(duì)稱作用）作用在某個(gè)集合上。在這個(gè)情況下，群稱為置換群（特別是在群有限或者不是線性空間時(shí)）或者變換群（特別是當(dāng)這個(gè)集合是線性空間而群作為線性變換作用在集合上時(shí)）。一個(gè)群G的置換表示是群作為一個(gè)集合的置換群的群表示（通常該集合有限），并且可以表述為置換矩陣，一般在有限的情形作此考慮－這和作用在有序的線性空間基上是一樣的。

定義若 為一個(gè)群而 為一個(gè)集合，則 在 上的一個(gè)(左)群作用是一個(gè)二元函數(shù)

(其中 和 的像寫作 )，滿足如下兩條公理：

1. 對(duì)于所有 和 成立；

2. 對(duì)于每個(gè) 成立 ( 代表 的幺元)。

從這兩條公理，可以得出對(duì)于每個(gè) ，映射 到 的函數(shù)是一個(gè)雙射，從 映射到 。因此，也可以將 在 上的群作用定義為從 到對(duì)稱群 的群同態(tài)。

若群作用 給定，我們稱“G作用于集合X”或者X是一個(gè)G-集合。

完全一樣地，可以定義一個(gè)G在X上的右群作用為函數(shù) ，滿足以下公理：

注意左和右作用的區(qū)別僅在于象 這樣的積在 上作用的次序。對(duì)于左作用 先作用然后是，而對(duì)于右作用先作用然后是。從一個(gè)右作用可以構(gòu)造一個(gè)左作用，只要和群上的逆操作復(fù)合就可以了。如果為一右作用，則

是一左作用，因?yàn)?/p>

而

所以在這里，我們只考慮左群作用，因?yàn)橛易饔每梢韵鄳?yīng)推理。

群作用軌道1.作用軌道設(shè)為目標(biāo)集，群作用在上，，則集合稱為在作用下的一個(gè)軌道，為此軌道的代表元。

由軌道的定義可得如下性質(zhì)1，

性質(zhì)1：若在中定義二元關(guān)系為：存在，使，則是中的等價(jià)關(guān)系，且每一個(gè)等價(jià)類就是一個(gè)軌道。

性質(zhì)2：，即軌道中任意元素斗魚資格作為代表元。

性質(zhì)3：構(gòu)成的一個(gè)劃分，因而有。

2.穩(wěn)定子群設(shè)群作用在上，，，若，則稱為的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（fixpoint）。以為不動(dòng)點(diǎn)的所有群元素的集構(gòu)成的子群

稱為的穩(wěn)定子群（Stabilizer）。

關(guān)于穩(wěn)定子群與其軌道關(guān)系有如下輕質(zhì)：

1）軌道公式：

2）同一軌道上的元素的穩(wěn)定子群是互相共軛的：

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)