[科普中國]-商集

商集是集合論的基本概念之一，指由集合和該集合上的等價關(guān)系導(dǎo)出的集合。設(shè)～是非空集合A的一個等價關(guān)系，若把以A關(guān)于～的全部等價類作為元素組成一個新的集合B，則把集合B叫做A關(guān)于～的商集合，簡稱為商集，記作B=A/～.1

定義商集是集合論的基本概念之一，指由集合和該集合上的等價關(guān)系導(dǎo)出的集合。設(shè)～是非空集合A的一個等價關(guān)系，若把以A關(guān)于～的全部等價類作為元素組成一個新的集合B，則把集合B叫做A關(guān)于～的商集合，簡稱為商集.記作B=A/～.12

特點(diǎn)非空集合S關(guān)于它上面的任何等價關(guān)系R的商集具有下列特點(diǎn)：

S/R ≠ ?；

若A∈S/R，則A ≠ ?；

若A，B∈S/R，A≠B，則A∩B = ?.

利用選擇公理，在S/R的每個元素Am中取出一個元素am∈Am，稱為等價類Am的代表，而{am}m∈M稱為商集的代表集。集S對它上面的不同的等價關(guān)系R和G有不同的商集，且滿足：

1.S/R=S/R；

2.S/E={{a}}a∈S，這里E是恒等關(guān)系；

3.S/(S×S)={S}， 這里S×S是全域關(guān)系；

4.若S/R={Am}m∈M，S/G={Bn}n∈N，則

且 其中某些項(xiàng)可能是空集。2

舉例例1 A={a,b,c,d,e,f}={某大學(xué)宿舍的大學(xué)生}；R是A上的同鄉(xiāng)關(guān)系（不難證明同鄉(xiāng)關(guān)系是等價關(guān)系），若a,b是北京人，c是廣東人，d,e,f南京人，則R={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}.A中各元素關(guān)于R的等價類分別是：

[a]R=[b]R={a,b}；

[c]R={c}；

[d]R=[e]R=[f]R={d,e,f}；

A關(guān)于R的商集A/R={[a]R,[c]R,[d]R}={{a,b},{c},{d,e,f}}.

例2 A={(x，y) |-∞