[科普中國]-廣義線性模型

廣義線性模型是處理離散型觀測數(shù)據(jù)的一類有效統(tǒng)計(jì)模型，在社會調(diào)查、臨床醫(yī)學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)計(jì)量、工程技術(shù)和工業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量評估等方面都有廣泛的應(yīng)用。

簡介假設(shè)因變量 是 n 個(gè)獨(dú)立觀測，服從指數(shù)型分布，即其有密度函數(shù):

其中 和 為參數(shù)， 和 為函數(shù)。

假設(shè) 為對應(yīng)于的 p 維自變量 X 的觀測值。記，其中 為 未知參數(shù)向量。假設(shè) 并且 與 具有關(guān)系

稱如此定義的模型為廣義線性模型， 稱為自然參數(shù)， 稱為離散參數(shù)，稱 為聯(lián)系函數(shù)（連接函數(shù)）。

聯(lián)系函數(shù)聯(lián)系函數(shù)確定了廣義線性模型的均值結(jié)構(gòu)，對于不同的數(shù)據(jù)類型，不同的聯(lián)系函數(shù)的選取就產(chǎn)生了不同的廣義線性模型。比如，對0-1變量數(shù)據(jù)，即實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩種情況。將全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)分成 n 個(gè)組，第 i 組有 個(gè)數(shù)據(jù).它們對應(yīng)的自變量都為 在這個(gè)數(shù)據(jù)中，假設(shè)對應(yīng)的因變量取值為 1 的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為 假設(shè) 相互獨(dú)立，并記因變量取1的概率為 .如果 與 具有如下關(guān)系其中 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則稱該廣義線性模型為概率單位模型(probit model)。

如果聯(lián)系函數(shù)為 ，且滿足

則稱該廣義線性模型為對數(shù)單位模型(logit model)。再如，對計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)(比如，在一定時(shí)間內(nèi)某隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)),如果假設(shè)觀測數(shù)據(jù)服從泊松分布.即

則當(dāng)聯(lián)系函數(shù)滿足

稱如此定義的廣義線性模型為對數(shù)線性模型(logit linear model)；當(dāng)聯(lián)系函數(shù)滿足

稱如此定義的廣義線性模型為線性泊松模型 (linear Poisson model) 。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)