[科普中國]-幻圓

幻圓是組合數(shù)學的一個分枝，將自然數(shù)排列在多個同心圓或多個連環(huán)圓上，使各圓周上數(shù)字之和相同，幾條直徑上的數(shù)字和也相同。著名的同心幻圓有南宋數(shù)學家楊輝的攢九圖和丁易東的太衍五十圖。

楊輝幻圓楊輝《續(xù)古摘奇算法》有聚五圖、聚六圖、聚八圖、攢九圖、八陣圖、連環(huán)圖1。

1.攢九圖楊輝《續(xù)古摘奇算法》中的攢九圖以自然數(shù)1至33構(gòu)成，9在圓心，其余排列在四個同心圓上，每圈8個數(shù)。楊輝有如下攢九圖奇妙特點：

1）四條直徑上數(shù)字之和是147，

28+5+11+25+9+7+19+31+12=147

2）四個圓周上數(shù)字之和加圓心9之和也是147。

28+27+20+33+12+4+6+8+9=147

3）八條半徑線上數(shù)字（不包括9）之和=69

27+15+3+24=69

4）四個圓周上數(shù)字之和（不包括9）=八條半徑線上數(shù)字和的兩倍。

2.楊輝攢九圖之構(gòu)造楊輝書中未曾說明幻圓的構(gòu)造方法。新加坡大學藍麗蓉教授建議將八組半徑數(shù)字分為兩組，構(gòu)成兩個四階幻方，例如：

由于這兩個四階幻方縱數(shù)橫數(shù)之和都是69，只需從第一幻方和第二幻方中隨意各取一行，或隨意各取一列，構(gòu)成同一條直徑上的兩對半徑，一共組成四條直徑，每直徑8個數(shù)，最后在圓心安方9，就不但可以排出楊輝幻圓；而且可以排除許許多多不同排列的幻園。此外，由于數(shù)字的和與數(shù)字的次序無關(guān)，因此：

任何兩組半徑數(shù)字，可以互換位置，

8組半徑數(shù)字，在可以在圓圈上任意排列，

任何兩組園圈，可以互換位置。

楊輝幻圓真是富于變化。如果限制四個圓周上必須有兩個同和半圓(半圓上的四個數(shù)字之和必須=69)，楊輝幻圓上的半徑位置就不可調(diào)換。如此一來，楊輝幻圓可以有

8條同和半徑；28+5+11+25=69，20+16+23+10=69，……

8條同和半圓； 27+28+8+6=69，20+33+12+4=69,15+5+17+32=69，21+32+1+16=69……

具有16個同和線段（和數(shù)為69）的幻圓不止一個，可依靠四個圓圈的不同排列得到，共有4x3x2=24種。

3.楊輝八陣圖1至64， 64數(shù)字分為八個圓圈，每個圓圈內(nèi)數(shù)目之和=260。 從西北角順時針方向各小圓之和為：

又東西方向和南北方向的八個數(shù)字之和也是260：

此外兩條對角線的16個數(shù)字之和為260的兩倍：

4.楊輝連環(huán)圖1至72，共72個數(shù)字分為9個圓圈，排列成方陣如圖。

此連環(huán)圖奇妙之處在于連環(huán)生圈：由于左右相鄰的四個圈的數(shù)字連環(huán)，又多出4 8字圓圈連環(huán)圈。由有以下相鄰的8字圈連環(huán)組成：

（東北，北，東，中），

（西北，北，西，中），

（東南，南，東，中），

（西南，南，西，中）。

一共13個八字圈： ：西北，北，東北，東，東南，南，西南，西，中，（東北，北，東，中），（西北，北，西，中），（東南，南，東，中），（西南，南，西，中）。

13個八字圈中任何一個八字圈的數(shù)字之和=292，

橫向三個八字圈24個數(shù)字之和=876，

縱向三個八字圈24個數(shù)字之和=876，

對角線上三個八字圈24個數(shù)字之和=876。

丁易東幻圓南宋數(shù)學家丁易東是楊輝同時代人，以自然數(shù)1至49作出六同心圓幻圓，稱之為太衍五十圖2。丁易東幻圓特性：

1）各圓周數(shù)字之和為200

3+4+49+2+47+46+1+48=200；

13+14+39+12+37+36+11+38=200；

……

2）每圓周上的一個數(shù)與其相對點上數(shù)字之和=50；

3+47=50，13+37=50……

3）四條直徑上數(shù)字之和為325

據(jù)上條，6x50+25=325。

2.丁易東幻圓的構(gòu)造丁易東給出把三階幻方洛書變化為六階幻園太衍五十圖的的奇妙方法；

將從1至49的數(shù)字分成以下9組：

1）凡個位數(shù)為1數(shù)按大小次序排為一組：1，11，21，31，41，

2）凡個位數(shù)為2數(shù)按大小次序排為一組：2，12，22，32，42，

3）凡個位數(shù)為3數(shù)按大小次序排為一組：3，13，23，33，43，

4）凡個位數(shù)為4數(shù)按大小次序排為一組：4，14，24，34，44，

5）凡個位數(shù)為6數(shù)按大小次序排為一組：6，16，26，36，46，

6）凡個位數(shù)為7數(shù)按大小次序排為一組：7，17，27，37，47，

7）凡個位數(shù)為8數(shù)按大小次序排為一組：8，18，28，38，48，

8）凡個位數(shù)為9數(shù)按大小次序排為一組：9，19，29，39，49，

9）5及其倍數(shù)按大小次序排為一組：5，10，15，20，25，30，35，40，45。

按洛書口訣：“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”排列數(shù)字組：

戴九：將“9字組”9，19，29，39，49 排在最頂部，49在上，循序循半徑往下排列，

履一，將“1字組”1，11，21，31，41作履，1排在最下，循序循半徑往上排列，

左三：將“3字組"3，13，23，33，43排在左邊，

右七，將“3字組"：7，17，27，37，47排在右邊，

二四為肩，將“2字組”2，12，22，32，42，“4字組”4，14，24，34，44按絡(luò)書方位排列在左上右上。

六八為足：將“6字組”6，16，26，36，46，“8字組”8，18，28，38，48按絡(luò)書方位排列在左下右下。

最后“5”字組5，10，15，20，25，30，35，40，45各數(shù)對應其1/5的數(shù)字組排列在最內(nèi)一個圓上：1）5的1/5=1，排在“1字組”；

2）10的1/5=2，排在“2字組”……

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學