[科普中國]-球面多邊形

相關(guān)概念

1. 連球面上兩點(diǎn)的大圓劣弧稱為這兩點(diǎn)的球面距離。2

2. 球面上相交的兩個(gè)大圓弧所在半平面之間所成的二面角稱為球面角，當(dāng)球面角是直角時(shí)稱為直球面角，兩個(gè)有共同直徑的大圓弧之間所夾的球面部分稱為球面弓月形，球面弓月形所對(duì)的球面角稱為月形角。

3. 過球面一點(diǎn)與圓面垂直的大圓夾在該點(diǎn)與該圓之間最小的那段弧稱為點(diǎn)與圓面的球面距離。

4. 垂直于圓面的球直徑，稱為這個(gè)圓的軸，軸的端點(diǎn)稱為圓的極，由極至0圓的球面距離大圓弧的弧度稱為極距，極距是 的圓弧又稱為該極的極線，當(dāng)且僅當(dāng)圓是大圓時(shí)距它的極為 ；反之，極線必須是大圓弧。

5. 由球面小圓周上的點(diǎn)到它的極的球面距離，稱為該小圓的球面半徑。

6. 球面若干個(gè)大圓劣弧圍成的球面的一部分稱為球面多邊形，各大圓弧稱為球面多邊形的邊，以其弧度度量邊的大小：相鄰兩條大圓弧所成的球面角稱為球面多邊形的內(nèi)角(簡稱為球面多邊形的角)，同一大圓弧的球面多邊形的內(nèi)角的鄰角稱為球面多邊形的外角，根據(jù)球面多邊形的邊數(shù)我們稱球面多邊形為球面三角形、球面四邊形、球面五邊形等。

7. 把一個(gè)球面多邊形任意一邊向兩方無限延長成大圓，如果其余邊都在此大圓的同旁，那么這個(gè)多邊形就稱為球面凸多邊形。

8. 球面凸禮邊形的內(nèi)角和與 的差稱為球面凸n邊形的球面角盈，通常用E來表示球面角盈。

9. 過球面線段中點(diǎn)，且垂直于這條球面線段的大圓稱為這條球面線段的垂直平分線或中垂線。

10. 設(shè)球面多角形每個(gè)頂點(diǎn)在一球面小圓周上，則該小圓稱為球面多邊形的球面外接圓。

11. 平分球面角的大圓稱為球面角的平分線，類似平面角平分線的證明，可得

12. 設(shè)一球面小圓周與多邊形各邊所在大圓相切，若該小圓在球面多邊形內(nèi)部，則稱為球面多邊形的球面內(nèi)切圓。2

相關(guān)定理定理1. 經(jīng)過球面上兩點(diǎn)并且曲線上每點(diǎn)都在球面上的所有曲線中，以大圓的劣弧的長度最小。2

定理2. 如果月形角是 ，球半徑是 ，則球面弓月形的面積等于 。

定理3. 設(shè)球面小圓的球面半徑是r，球的半徑是R，則小圓所在平面截球面所得的球冠的面積是

定理4. 球面凸n邊形的角大于 ,且小于 。

定理5. n(n是整數(shù)，n≥3)條邊能構(gòu)成球面凸n邊形的充要條件是這些邊的和小于 ，且任意一邊小于其他邊的和。

定理6. 給定凸n(n是整數(shù)，n≥4)邊形的邊，則這個(gè)凸n邊形有無數(shù)個(gè)。

定理7. 球面線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的球面距離相等。

**定理8.**球面多邊形若有外接圓，則外接圓圓心是各邊垂直平分線的交點(diǎn)。

定理9. 球面三角形必定有外接圓。

**定理10.**球面角的平分線上的點(diǎn)到球面角兩邊的球面距離相等。

定理11. 球面多邊形若有內(nèi)切圓，則內(nèi)切圓圓心是各角平分線的交點(diǎn)。

定理12. 球面三角形必定有內(nèi)切圓。2

面積計(jì)算球面三角形的面積是它的角的和與π的差。

n邊球面多邊形的面積，是它的角的和與的差。3