[科普中國]-模群

模群(modular group)即虧格大于2的閉曲面上映射類群?？紤]拓撲曲面Sg上所有保向自同胚集合，在其上定義一等價關系使得兩元素h與h'等價，當且僅當h與'h同倫，如此所得到的等價類集合在復合運算[h]°[h']=[h°h']下構成一群，稱為模群，或映射類群。

概念模群即虧格大于2的閉曲面上映射類群?？紤]拓撲曲面Sg上所有保向自同胚集合，在其上定義一等價關系使得兩元素h與h'等價，當且僅當h與h'同倫，如此所得到的等價類集合在復合運算[h]°[h']=[h°h']下構成一群，稱為模群，或映射類群。模群以如下方式自然地作用于泰希米勒空間：[h']([s，f])=[s，f°h]。易證此種作用是間斷的。模群與泰希米勒空間理論、拓撲學及三維流形理論等有密切的聯(lián)系，至今仍是人們所重點研究的課題之一。

群群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數(shù)結構；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數(shù)運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對于所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等于零的實數(shù)，關于通常的乘法構成一個群;時針轉動(關于模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。1

虧格虧格是黎曼曲面的重要拓撲不變量。一閉曲面(或開曲面)的一維同調(diào)群(或模理想邊界的一維同調(diào)群)之秩是2g，則稱g為此曲面的虧格。開曲面的虧格可能為無窮。

拓撲空間的同胚映射下保持不變的性質稱為拓撲不變量。

例如，二維緊致定向曲面又二維定向曲面的拓撲不變量虧格、辯解連通分支數(shù)唯一決定。拓撲學研究的一個中心問題是拓撲空間的同胚分類。但是直接判斷兩個拓撲空間之間是否存在同胚映射是很困難的一件事情。因此拓撲學家希望能夠找到比較好計算的在同胚映射下保持不變的性質來判斷兩個拓撲空間不是同胚的。因此，拓撲空間的同胚映射存在問題被轉移到拓撲不變量的構造。由此，產(chǎn)生了許多的拓撲不變量如同倫群、同調(diào)群。

黎曼曲面是一維復解析流形。由局部定義的解析函數(shù)經(jīng)解析開拓得到的大范圍定義的解析函數(shù)常常是多值的，它的單值定義域即是相聯(lián)于此函數(shù)的黎曼曲面。它能由有限或可數(shù)無窮多的“葉”所組成，這些葉都是復平面C上的域。抽象黎曼曲面定義為：一個曲面M連同一個附加的復結構{(uγ，hγ)}，并記黎曼曲面R=(M，{(uγ，hγ)}).這是外爾(Weyl，(C.H.)H.)首先提出的。這里復結構{(uγ，hγ)}是指開集族{uγ}是M的一開覆蓋，即M=∪uγ，hγ是uγ到復平面開集Vγ的同胚映射，亦稱局部參數(shù)或局部坐標，并且相鄰兩個局部參數(shù)的定義域的交集上，其中一個參數(shù)是另一個參數(shù)的解析函數(shù)。黎曼曲面上定義的函數(shù)稱為解析的(或調(diào)和的或次調(diào)和的)，如果在每個參數(shù)鄰域內(nèi)它表示為局部參數(shù)的解析函數(shù)(或調(diào)和或次調(diào)和函數(shù))。緊致黎曼曲面稱為閉黎曼曲面，否則為開黎曼曲面。

黎曼曲面理論中具有基本的重要性的定理是單值化定理。

同胚同胚是拓撲空間之間的一種變換。若f是拓撲空間(X，T)到(Y，U)的單滿映射，并且f與f都是連續(xù)的，則稱f為同胚映射或拓撲變換。存在同胚映射的兩個拓撲空間稱為同胚的或拓撲等價的。同胚關系是等價關系。抽象空間的同胚是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1910年開始研究的.在狹窄的意義下同胚的概念早已被龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)引入。

設E與F為兩個拓撲空間。稱從E到F上的雙射為從E到F上的同胚，如果這一映射能建立一個從E之全體開集的集合到F之全體開集的集合上的雙射。

為使從E到F上的雙射是同胚，其充分必要條件是： 這個雙射是雙連續(xù)的。

從一緊空間到另一緊空間上的任一連續(xù)雙射是同胚。2

同倫設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續(xù)映射，若存在連續(xù)映射H：X×I→Y使得：H(x，0)=f(x)，H(x，1)=gx∈X，則稱f與g同倫，記為f?g：X→Y或f?g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數(shù)映射族{ht}t∈I，ht連續(xù)地依賴于t且h0=f，h1=g，即當參數(shù)t從0變到1時，映射f連續(xù)地形變?yōu)間。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續(xù)映射之集，則同倫關系?是C[X，Y]上等價關系，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續(xù)映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f?g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f?f：X→Y，g?g： Y→Z，則gf?gf： X→Z。

設X，Y為拓撲空間，若存在連續(xù)映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf?Idx且f·g?idr。這Id、id均表示恒同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X?Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x0∈X，使得常值映射C：X→X。x1→x0與映射idx同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關系是拓撲空間之間的等價關系。X可縮等價于下列幾條中任意一條：(1)idx?0，即恒同映射idx零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f?0。(3)對任意空間Z和連續(xù)映射g：Z→X，g?0。

泰希米勒空間閉黎曼曲面上附帶一定拓撲條件的復解析結構所構成的空間。假設Sg(g≥0)是一個虧格為g的閉曲面，在復分析及其應用中一個十分重要的基本問題是怎樣對Sg上的復結構進行描述。g=0，1的情形早為人們所認識，即S0上有惟一的復結構，S1上的所有復結構可以用一個復參數(shù)來描述。當g>1時此問題十分復雜。100多年前，黎曼猜測Sg(g>1)上的所有復結構可用6g-6個實參數(shù)來描述。此著名猜測的證明由德國數(shù)學家泰希米勒(Teichmu¨ller，O.)于20世紀40年代首先給出，其證明的關鍵性思想是對一類以Sg為基點的形變空間的拓撲性質及其“自然”作用于其上的模群的分析，這類重要的形變空間即是現(xiàn)在所稱的泰希米勒空間。其定義如下：考慮所有形如[S，f]的元組，其中f：Sg→S為同胚映射，規(guī)定一等價關系：[S1，f1]~[S2，f2]，當且僅當存在一共形映射σ：S1→S2滿足σ°f1～f2(同倫)，利用擬共形映射的復偏差可在此等價類集合上裝備一個完備的度量，并稱為泰希米勒度量。如此所得到的拓撲空間Tg稱為泰希米勒空間.粗略地說，泰希米勒的重大貢獻在于巧妙地應用擬共形映射及Sg上的全純二次微分給出了一個“直觀地”得到Sg上所有復結構的形變方法.與此相關的重要結果有：

1.給定Tg中的任一點[S，f]，存在Sg上的泰希米勒形變T及共形映射h，使得[S，f]=[S，h°T]，且h°T是f的同倫類中伸縮商為最小的惟一的極值映射。

2.記Rg是虧格為g的閉曲面的共形等價類的集合，Mod g是作用于Tg上的模群，則Mod g在Tg上的作用是離散的，且Rg=Tg/Mod g。

3.Tg同胚于6g-6維歐氏空間R中的開球。

阿爾福斯(Ahlfors，L.V.)首先認識到泰希米勒空間的重要價值，并證明Tg上存在與泰希米勒拓撲相容的復結構。稍后伯斯(Bers，L.)證明Tg可被全純地嵌入到C中有界球的內(nèi)部.在隨后的研究中，Sg的拓撲類型推廣到允許Sg上有洞或穿孔點，甚至可以直接從離散群出發(fā)來定義廣泛的泰希米勒空間。至今泰希米勒空間理論已發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學中非常重要的研究課題，它與現(xiàn)代數(shù)學及物理中的許多分支，如埃爾米特幾何、黎曼幾何、代數(shù)幾何、離散群理論、三維流形理論、動力系統(tǒng)、遍歷理論、BMO理論以及超弦理論等均有直接或間接的聯(lián)系。許多精粹思想交融其中，互映生輝。特別要指出的是由瑟斯頓(Thurston，W.)所創(chuàng)立的“地震”理論.這是與泰希米勒形變理論相媲美的另一個“直觀地”得到Sg上所有復結構的形變方法。此外由于計算機技術的發(fā)展及應用上的需要，開發(fā)對Tg中的目標的計算方法已開始受到人們的重視。3

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學