[科普中國]-帕斯卡分布

在重復(fù)、獨立的伯努利試驗，設(shè)每次試驗成功的概率為p，失敗的概率為q= 1- p，若將試驗進行到出現(xiàn)r(r為常數(shù))次成功為止，以隨機變量X表示所需試驗次數(shù)，則 X是離散型隨機變量，其概率分布為： ，此時稱 服從帕斯卡分布。其中p表示每次試驗出現(xiàn)成功的概率，而q=1-p，它的期望為r/p，方差為r/(1-p)，當r=1時，即為幾何分布帕斯卡(Pas-cal , B.)。

曾于1654年與費馬(Fermat , P. de)在通信中研討有關(guān)概率問題，他們的研究被認為共同奠定了概率論和組合分析的基礎(chǔ).在他的《算術(shù)三角形》一書中，建立了概率論的基本原理和若干重要的組合定理。此分布即由帕斯卡首先引入并載于此書中。

相關(guān)公式若隨機變量 服從參數(shù)為 和 的負二項分布，則記為

當 是整數(shù)時，負二項分布又稱帕斯卡分布，其概率質(zhì)量函數(shù)為 。

它表示，已知一個事件在伯努利試驗中每次的出現(xiàn)概率是 ，在一連串伯努利試驗中，一件事件剛好在第 次試驗出現(xiàn)第 次的概率。

取 ，負二項分布等于幾何分布。其概率質(zhì)量函數(shù)為 。

求帕斯卡分布的期望和方差的三種方法1：

方法一：用求離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的方法來求帕斯卡分布的數(shù)學(xué)期望和方差；

**方法二：**利用冪級數(shù)的性質(zhì)求期望和方差；

**方法三：**將帕斯卡分布分解為若干幾何分布之和。

例子舉例說，若我們擲骰子，擲到一即視為成功。則每次擲骰的成功率是1/6。要擲出三次一，所需的擲骰次數(shù)屬于集合{ 3, 4, 5, 6, ... }。擲到三次一的擲骰次數(shù)是負二項分布的隨機變數(shù)。要在第三次擲骰時，擲到第三次一，則之前兩次都要擲到一，其概率為 。注意擲骰是伯努利試驗，之前的結(jié)果不影響隨后的結(jié)果。

若要在第四次擲骰時，擲到第三次一，則之前三次之中要有剛好兩次擲到一，在三次擲骰中擲到2次1的概率為 。第四次擲骰要擲到一，所以要將前面的概率再乘（1/6）： 。

帕斯卡分布的應(yīng)用(巴拿赫火柴盒問題)某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴,每盒都有n根火柴,每次用火柴時他隨機地在兩盒中任取一盒并從中抽出一根.求該數(shù)學(xué)家用完一盒時另一盒還有r根火柴的概率2。

這個問題就是歷史上經(jīng)典的巴拿赫火柴盒問題，從一盒中取一次火柴視為一次成功試驗，從另一盒中取一次火柴視為一次失敗的試驗,可將問題轉(zhuǎn)化為帕斯卡分布。但是根據(jù)不同的假設(shè),會有兩個不同的答案。

答案一：

不妨設(shè)該數(shù)學(xué)家能夠看到火柴盒里的火柴且甲盒為空，則他一共在此盒里取了n次火柴，在乙盒里取了n- r次火柴，且最后一次取火柴是從甲盒里取出里面最后一根.由于數(shù)學(xué)家取火柴是隨機的，所以從甲盒或乙盒取一次火柴的概率相等，都是12.取火柴問題即為2n- r次重復(fù)、獨立的伯努利試驗中有n次成功， n- r次失敗，且最后一次試驗是成功的帕斯卡分布問： ，由甲、乙兩盒的對稱性，得： P{用完一盒時另一盒還有r根火柴}= .

答案二：

不妨設(shè)該數(shù)學(xué)家不能看到火柴盒里的火柴且甲盒為空,則他一共在此盒里取了n+ 1次火柴,在乙盒里取了n- r次火柴,且最后一次取火柴是在已空的甲盒里又取了一次但發(fā)現(xiàn)已空,沒能取到火柴.此問題轉(zhuǎn)化為2n- r+ 1次重復(fù)、獨立的伯努利試驗中有n+ 1次成功,n- r次失敗,且最后一次試驗是成功的帕斯卡分布問題： ，由甲、乙兩盒的對稱性。得：P{用完一盒時另一盒還有r根火柴}=

同一個問題，會產(chǎn)生兩個答案，原因在于對何時火柴盒為空的不同理解上。不論那種答案，都是應(yīng)用了帕斯卡分布,同時還要考慮兩個火柴盒的對稱性問題。