[科普中國]-集中趨勢量數(shù)

集中趨勢的統(tǒng)計量

一維資料的集中趨勢可能有以下數(shù)種統(tǒng)計方法。在某些情況下，經(jīng)轉(zhuǎn)型（data transformation）后的資料才采用以下的方法。

算數(shù)平均數(shù)觀測值的總和除以觀測值的個數(shù)，即 。常簡稱為平均數(shù)，也往往是背后機(jī)率分布的期望值之不偏估計。

中位數(shù)將所有觀測值按大小排序后在順序上居中的數(shù)值。

眾數(shù)出現(xiàn)最多次的觀測值。

幾何平均數(shù)觀測值的乘積之觀測值個數(shù)方根，即

調(diào)和平均數(shù)觀測值個數(shù)除以觀測值倒數(shù)的總和，即

加權(quán)平均數(shù)考慮不同群資料貢獻(xiàn)程度不同時的算數(shù)平均數(shù)。

截尾平均數(shù)（truncated mean）忽略特定比例或特定數(shù)值之外的極端值后所得的平均數(shù)。例如，四分平均數(shù)（interquartile mean）正是忽略25%前及75%后的資料后所得的算數(shù)平均數(shù)。

全距中點（midrange）最大值與最小值的算數(shù)平均數(shù)，即

中樞紐（midhinge）第一四分位數(shù)與第三四分位數(shù)的算數(shù)平均數(shù)，即

三均值（trimean）考慮三個四分位數(shù)的加權(quán)平均數(shù)，即

極端值調(diào)整平均數(shù)（winsorized mean）以最接近的觀測值取代特定比例的極端值后取得的算數(shù)平均數(shù)。舉例來說，考慮10個觀測值（由小到大排列為至）的情況下，10%的極端值調(diào)整平均數(shù)為

其中分別以和取代了和。

以上的統(tǒng)計量在多維變數(shù)中仍可單獨地被套用在各個維度上進(jìn)行，但并不能保證在轉(zhuǎn)軸后仍維持一致的結(jié)果。12

平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的關(guān)系在左右對稱的機(jī)率分布中，不同的集中趨勢統(tǒng)計量有相同結(jié)果，但在偏度遠(yuǎn)離0時則可能不一致。在單峰型的機(jī)率分布（unimodal probability distribution）中，平均數(shù)（μ）、中位數(shù)（ν）與眾數(shù)（θ）的關(guān)系如下：

其中σ為標(biāo)準(zhǔn)偏差。至于任一機(jī)率分布，。3