[科普中國]-等勢集

引言

給定一個集合X以及某個與X中元素相關(guān)的命題 ，令 （注：在這里， 當(dāng)且僅當(dāng) 成立）， . 一個有意思的問題是： 在X上成立與不成立的可能性哪個更大？這涉及集合A與B所含元素的個數(shù)的比較。

對于有限集，這個問題的解決是簡單的，只要比較集合A與B中所含元素個數(shù)就行了。對于無窮集，個數(shù)一詞沒有實(shí)際意義。然而，不同的無窮集，它們是有明顯的差別的。比如自然數(shù)集與實(shí)數(shù)集顯然不同。自覺上，實(shí)數(shù)當(dāng)然比自然數(shù)多得多。那么怎樣表示集合所含元素的多少呢？怎樣比較兩個無窮集所含元素的多少呢？對于兩個有限集合是否有相同的元素個數(shù)，只需要看能否在兩個集合之間建立一種一一對應(yīng)關(guān)系。這種方法可推廣到無窮集。

等勢集定義1（對等）1設(shè)A，B是兩個集合，如果存在一個從A到B的一一滿映射（雙射），則稱集合A與B對等（也可稱A與B是等勢集，或A與B之間有一一對應(yīng)關(guān)系），記作

顯然對等關(guān)系滿足如下性質(zhì)：

（1）自反性：

（2）對稱性：若 ，則

（3）傳遞性：若 ， ，則

任何滿足自反性、對稱性和傳遞性的二元關(guān)系稱為等價關(guān)系。于是集合的對等關(guān)系是一種等價關(guān)系。

例1 N~Z.作對等關(guān)系如下：

k=1,2,...，則 N→Z 是一一滿映射。即自然數(shù)集N與整數(shù)集Z是等勢集。

例2 在對等關(guān)系 下，有（-1,1）~R. 即集合（-1,1）與實(shí)數(shù)集R是等勢集。

勢定義2（集合的勢）1設(shè)A，B是兩個集合，如果 ，就稱A與B有相同的勢（或基數(shù)）。記|A|為集合A的勢（或基數(shù)）。

注：（1）若存在一個從A到B的一一映射（相當(dāng)于A對等于B的一個子集），則稱 如果 ，則稱 （讀作|A|小于|B|）.

顯然，若 ，則 ；若存在滿映射 ，則

（2）若A是含n個元素的有限集，則記|A|=n；對于無限集A，通常也用一個希臘字母如α記|A|，且形象地說“A含有α個元素”。當(dāng)|A|