[科普中國(guó)]-仿射坐標(biāo)系

坐標(biāo)系

坐標(biāo)法的基礎(chǔ)是建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的實(shí)質(zhì)是平面或空間的點(diǎn)到有序數(shù)組的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為此首先要建立一個(gè)參考系，即坐標(biāo)標(biāo)架。

例如，平面上由兩條互相垂直并且都以交點(diǎn)為零點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成一個(gè)平面直角標(biāo)架，產(chǎn)生一個(gè)平面直角坐標(biāo)系；在平面上取定一條射線，就得到一個(gè)平面的極坐標(biāo)系．這兩種坐標(biāo)系都是用距離、夾角等度量概念來(lái)規(guī)定坐標(biāo)的。現(xiàn)在我們用向量的分解度量建立一種新的坐標(biāo)系，即仿射坐標(biāo)系。它不涉及度量概念，從而更加適用于仿射幾何學(xué)。2

仿射坐標(biāo)系的定義假設(shè)是不共面的向量（圖1），則根據(jù)分解定理，對(duì)任一向量存在唯一實(shí)數(shù)組x,y,z，使得。這樣，就得到從全體向量的集合到全體三元有序數(shù)組的集合的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。即一方面不同的向量對(duì)向量組有不同的分解系數(shù)，另一方面每個(gè)三元有序數(shù)組一定是某個(gè)向量的分解系數(shù)。取定空間中的一點(diǎn)O，則又有從空間到全體向量的集合的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：點(diǎn)A對(duì)應(yīng)到向量。

把上述兩個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系結(jié)合起來(lái)，就得到從空間到全體三元有序數(shù)組集合的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這就產(chǎn)生了仿射坐標(biāo)系。2

定義空間中的一個(gè)定點(diǎn)O連同不共面的3個(gè)有序向量的全體叫做空間的一個(gè)仿射標(biāo)架，記作：。

當(dāng)標(biāo)架中3向量為單位向量時(shí)，稱為笛卡爾標(biāo)架；當(dāng)?shù)芽枠?biāo)架中的3單位向量互相垂直時(shí)，稱為直角標(biāo)架，記作：。稱O為它的原點(diǎn)，稱為它的坐標(biāo)向量。

對(duì)于空間的任意一點(diǎn)A，把向量對(duì)的分解系數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為點(diǎn)A關(guān)于上述仿射標(biāo)架的仿射坐標(biāo)。這樣得到的空間的點(diǎn)與三元有序數(shù)組(x,y,z)的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為由仿射標(biāo)架決定的空間仿射坐標(biāo)系。

取定仿射標(biāo)架后，把經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，平行于坐標(biāo)向量并且以其方向?yàn)檎叫蔚臄?shù)軸稱為坐標(biāo)軸。3條坐標(biāo)軸分別為x軸、y軸和z軸，它們分別平行于；兩條坐標(biāo)軸決定的平面稱為坐標(biāo)平面，如x軸和y軸決定的平面叫做xoy平面等。三張坐標(biāo)平面將空間分割成8塊，稱為8個(gè)卦限。

空間直角坐標(biāo)系如圖2所示，空間點(diǎn)的坐標(biāo)在各卦限的符號(hào)見(jiàn)表1。2

向量的坐標(biāo)在標(biāo)架中，若，稱x,y,z為向量的坐標(biāo)，記作或。特別地，點(diǎn)M(x,y,z)對(duì)于原點(diǎn)O的向徑。

位置向量：在標(biāo)架下，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)，M為終點(diǎn)的向量稱為M的向徑，或稱為位置向量，記作。

坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：有兩個(gè)坐標(biāo)為零。

坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：有一個(gè)坐標(biāo)為零。坐標(biāo)原點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)都為零。2

向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、向量的坐標(biāo)

起點(diǎn)為，終點(diǎn)為的向量的坐標(biāo)是，終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)的同名坐標(biāo)。

2、向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)，，則，同名坐標(biāo)相加（減）。

，用數(shù)去乘每個(gè)分量。2