[科普中國]-無公度線段

無公度線段(incommensurable line segments)亦稱這兩線段是不可公度的或不可通約的，平面幾何的基本概念之一，指沒有公度的兩線段，無公度線段是存在的。例如，正方形的一邊和它的對角線就是無公度線段。無公度概念在古希臘(前500—前300)數(shù)學(xué)史上有過近兩個世紀(jì)的爭論，當(dāng)時數(shù)學(xué)家們對無公度線段還沒有認(rèn)識，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯(Hippasus，(M))發(fā)現(xiàn)了正方形的邊和對角線之間是無公度線段，使學(xué)派內(nèi)大為震驚，被認(rèn)為是邪說而不被承認(rèn)，并將希帕索斯拋入大海處死(亦有史料說是被開除出畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，把他當(dāng)做死人，還為他建了一個墓)。直到歐多克索斯(Eudoxus，(C))通過“量”概念的引入，用幾何方法去處理無公度比，才被數(shù)學(xué)界所接受。歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》第五卷中的“比例論”就是基于歐多克索斯的材料而寫的。由于無公度量的發(fā)現(xiàn)和爭論促使了當(dāng)時一大批數(shù)學(xué)家去研究這個問題，從而促進(jìn)了當(dāng)時數(shù)學(xué)的發(fā)展1。

基本介紹兩條線段的公度取一個定長線段a，分別去量兩線段b、c，如果線段b、c都含有定長線段a的正整倍數(shù)而沒有剩余，則線段a稱為線段b、c的公度。如圖1，，則線段a就是和的公度。

有公度的線段稱為可公度線段。

不可公度線段無公度線段亦稱“不可公度線段”，也說兩條輾轉(zhuǎn)相截永遠(yuǎn)有剩余的線段就是無公度線段。如，(1)正方形的一邊和對角線是無公度線段； (2)在一條直角邊是另一條直角邊二倍的直角三角形中，斜邊和直角邊是無公度線段；(3)底角為36°的等腰三角形的底和腰是無公度線段；(4)正三角形的邊和高是無公度線段2。

舉例說明定理 正方形的對角線和它的邊長是不可公度的，即是說的對角線不是一邊的有理數(shù)倍(圖2)。

我們用反證法證明，假設(shè)定理的反面成立，即假設(shè)

其中代表整數(shù)，我們自然可以假設(shè)p和q是互素的，即沒有公因數(shù)，如果有，約去后就沒有公因數(shù)了。

式(1)可寫作

式(2)平方得

由勾股定理，，代人式(3)并約去得

式(4)左端能被2除盡，于是p只能是偶數(shù)，命

其中表示整數(shù)，則

即

仿上面得出q也必然是偶數(shù)：。

照此說來，若定理反面成立，p和q并非互素而有公因數(shù)2了，這矛盾反證了一個極為重要的事實：客觀空間中存在不可公度的量，正方形的對角線和邊就是不可公度的。

這一事實是被古希臘的哲學(xué)學(xué)派(畢達(dá)哥拉斯學(xué)派)發(fā)現(xiàn)的，并且給這個學(xué)派的哲學(xué)理論基礎(chǔ)帶來了巨大的沖擊。這個學(xué)派很重視數(shù)學(xué)，把數(shù)學(xué)概念作為他們哲學(xué)理論的基礎(chǔ)，他們認(rèn)為“自然界的一切都可以度量，都受數(shù)的支配，一切事物的本質(zhì)是數(shù)，……，在人的一切工作中，一切藝術(shù)、手藝和音樂中都可以看到數(shù)的本質(zhì)和威力，數(shù)就是一切，事物的本質(zhì)和基礎(chǔ)不是物質(zhì)，而是數(shù)?！?/p>

這個觀點是唯心的。

正是把數(shù)(看作量與量之間的關(guān)系和度量的結(jié)果)作為自己哲學(xué)基礎(chǔ)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了不可公度的線段存在，他們宣布“一切都可以度量”，自然意味著度量數(shù)是當(dāng)時所理解的分?jǐn)?shù)，而一邊等于單位的正方形的對角線卻沒有數(shù)的形式，這恰好與他們的哲學(xué)基礎(chǔ)“迎頭相撞”，于是他們感到驚訝，驚慌失措，禁止把無公度線段存在的發(fā)現(xiàn)泄露出去，但學(xué)派中一個成員泄露了秘密，被逐出學(xué)派。

真理是禁止不了的，無公度的線段存在這個事實傳開了，數(shù)學(xué)前進(jìn)了一大步。線段總有個長度，即有個量數(shù)，正方形的對角線的量數(shù)，既不是整數(shù)，又不是分?jǐn)?shù)，就超出當(dāng)時所知道的數(shù)的范圍了。這種新認(rèn)識的數(shù)被稱為無理數(shù)。相對而言，把原來認(rèn)為僅有的數(shù)稱為有理數(shù)?！盁o理”的并不是“無理數(shù)”，而是這個命名。無理數(shù)既不是整數(shù)和有限小數(shù)，也不是無限的循環(huán)小數(shù)，就必然是無限的不循環(huán)小數(shù)。這就是線段度量的第四種情況。

不要以為度量線段才會出現(xiàn)無理數(shù)。例如說，鐵的比重是7.8 g/cm3，有一塊底面是每邊1cm的正方形，而高等于這個正方形的對角線d，重量就是；由于是無理數(shù)，這塊鐵的重量就是無理數(shù)。

這樣，人類在實踐中不斷發(fā)現(xiàn)，有所發(fā)明、創(chuàng)造和前進(jìn)，把數(shù)的概念一步步擴大，由整數(shù)到分?jǐn)?shù)，由正數(shù)到負(fù)數(shù)，由有理數(shù)到無理數(shù)，由實數(shù)到虛數(shù)，都是為實踐服務(wù)的3。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學(xué)