[科普中國(guó)]-反同態(tài)

概念

反同態(tài)(anti-homomorphism)是一類特殊映射。使運(yùn)算反序的映射。設(shè)G與G′是兩個(gè)群，f是G到G′的映射，若對(duì)任意的a，b∈G，f(b)f(a)=f(ab)，則稱f是群G到群G′的一個(gè)反同態(tài)。若映射f還是一一映射，則稱f為G到G′的反同構(gòu)。特別地，當(dāng)G′=G時(shí)，上述的反同態(tài)稱為反自同態(tài)，反同構(gòu)稱為反自同構(gòu)。

設(shè)E與F為兩個(gè)群胚，f為從E到F中的映射。稱f為從E到F中的反同態(tài)，如果f是從群胚E到F的反向群胚中的同態(tài)。這就等于說(shuō)，對(duì)E的任一元素偶(x，y)，都有：2

f(x⊥y)=f(y)?f(x).

在幺半群，群或環(huán)的情況下有類似的定義。

映射映射亦稱為函數(shù)。數(shù)學(xué)的基本概念之一。也是一種特殊的關(guān)系。設(shè)G是從X到Y(jié)的關(guān)系，G的定義域D(G)為X，且對(duì)任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y(jié)的映射。即關(guān)系G為映射時(shí)，應(yīng)滿足下列兩個(gè)條件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z)。這個(gè)被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X)。f(x)滿足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

關(guān)系G常使用另一些記號(hào)：f：X→Y或XY。f與G的關(guān)系是y=f(x)(x∈X)，當(dāng)且僅當(dāng)G(x，y)成立?？扇∽冇騒中的不同元素為值的變?cè)Q為自變?cè)蜃宰兞俊Ｍ瑯涌扇∽冇験中的不同元素為值的變?cè)Q為因變?cè)蛞蜃兞?。始集X稱為映射f的定義域。記為D(f)或dom(f)。終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f)。Y中與X中的元素有關(guān)系G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f)。.當(dāng)y=f(x)時(shí)，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。對(duì)于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象。記為f(A)。對(duì)于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。

群一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來(lái)建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對(duì)G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對(duì)G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對(duì)于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群;時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個(gè)群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對(duì)稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來(lái)定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類。可以說(shuō)，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

同態(tài)設(shè)E與F為兩個(gè)群胚，它們的合成法則分別記為⊥與?. 稱從E到F中的映射f是群胚同態(tài)，如果對(duì)于E的任一元素偶(x，y)，有：

設(shè)E與F為兩個(gè)幺半群(兩個(gè)群)，稱從E到F中的映射。f是幺半群(群)的同態(tài)，如果f是群胚的同態(tài)，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情況下，后一個(gè)條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x?0是群胚的同態(tài)， 而并不因此就是幺半群的同態(tài))。

設(shè)G為乘法群，而a為G的元素。由關(guān)系f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態(tài)。

設(shè)A與B為兩個(gè)環(huán)(兩個(gè)體)，稱從A到B中的映射f是環(huán)(體)的同態(tài)，如果f是加法群的同態(tài)，且為乘法么半群的同態(tài). 這就是說(shuō)，對(duì)A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f將A的單位元變成B的單位元.

例如，設(shè)n為非零自然數(shù)；使任一有理整數(shù)對(duì)應(yīng)其對(duì)模n的剩余類映射是從環(huán)Z到環(huán)Z/nZ上的同態(tài)。設(shè)E與F為兩個(gè)A-代數(shù)(兩個(gè)酉A-代數(shù))。稱從E到F中的映射f是A-代數(shù)(酉A-代數(shù))的同態(tài)，如果它是線性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態(tài)。

例如，設(shè)E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B(niǎo)為E的基。則從E的全體自同態(tài)之酉代數(shù)?(E)到K中元素構(gòu)成的全體n階方陣之酉代數(shù)Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態(tài)對(duì)應(yīng)它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數(shù)的同態(tài)。

同態(tài)的概念能用抽象的方式加以推廣。

自同態(tài)指從群胚，幺半群，群，環(huán)到其自身中的同態(tài)，向量空間在自身中的線性映射，等等。

設(shè)G為關(guān)于加法的交換群。賦以加法及法則(f，g)?g°f的G的全體自同態(tài)之集是一個(gè)環(huán)。

設(shè)E為交換體K上的向量空間。賦以法則(f， g)?g°f， E的全體自同態(tài)之向量空間是酉代數(shù)，記為?(E)，或End(E)。元素g°f仍記為gf。A-模的情形是類似的。

同構(gòu)設(shè)E與F為兩個(gè)群胚，兩個(gè)幺半群，兩個(gè)群，兩個(gè)環(huán)，兩個(gè)向量空間，兩個(gè)代數(shù)或兩個(gè)酉代數(shù)。稱從E到F中的映射f是同構(gòu)，如果f有逆映射，并且f與f是兩個(gè)同態(tài)。 可以證明，任一雙同態(tài)是同構(gòu)。

設(shè)E與F為兩個(gè)有序集。稱從E到F中的映射f是同構(gòu)，如果它存在逆映射，并且f與f-1都是遞增的。即是說(shuō)，對(duì)E的任一元素偶(x，y)，關(guān)系x≤y與f(x)≤f(y)等價(jià)。在E與F皆為全序集的情況下，可以證明任一雙同態(tài)是同構(gòu)。例如， 指數(shù)函數(shù)x?ex是從實(shí)數(shù)加法群R到嚴(yán)格正實(shí)數(shù)乘法群R*+上的同構(gòu)。逆同構(gòu)是對(duì)數(shù)函數(shù)x?lnx。 二者都是遞增的，這兩個(gè)雙射也是有序集的同構(gòu)。3

自同構(gòu)設(shè)E為群胚，幺半群，群，環(huán)，向量空間，代數(shù)或酉代數(shù)。從E到其自身上的同構(gòu)稱為E的自同構(gòu)。

賦以合成法則(f，g)?g°f后，E的自同構(gòu)集是一個(gè)群，自然地稱為E的自同構(gòu)群，記為Aut(E).例如，設(shè)E為交換體K上的向量空間. E的同位相似是自同構(gòu)，當(dāng)且僅當(dāng)它的比不為零。 ——現(xiàn)假定E為有限維的。為使E的自同態(tài)是自同構(gòu)，必須且只須它是單射，或是雙射。