[科普中國(guó)]-一般線性群

簡(jiǎn)介

如果V是在域F上的向量空間，V的一般線性群，寫為GL(V)或Aut(V)，是V的所有自同構(gòu)的群，就是說所有自同構(gòu)V→V的集合，和與之一起的函數(shù)復(fù)合作為群運(yùn)算。如果V有有限維n，則GL(V)和GL(n,F)是同構(gòu)的。這個(gè)同構(gòu)不是規(guī)范的；它依賴于在V中基的選擇。給定V的一組基 (e1, ...,en)和GL(V)中自同構(gòu)T，則

對(duì)于某些F中的常量ajk；對(duì)應(yīng)于T的矩陣就是由ajk作為元素的矩陣。

以類似的方式，對(duì)于交換環(huán)R群GL(n,R)可以被解釋為n秩的自由R-模的自同構(gòu)的群。還可以對(duì)任何模定義GL(M)，但是這一般不同構(gòu)于GL(n,R)（對(duì)于任何n）。1

定義一般線性群亦稱全線性群。一類重要的典型群。若V是體K上n維右線性空間，則V上全體可逆線性變換在映射的乘法下構(gòu)成一個(gè)群，稱為V上的一般線性群或全線性群，記為GL(V)。體K上全體n×n可逆方陣在矩陣乘法下構(gòu)成一個(gè)群，稱為K上n次一般線性群，記為GLn(K)或GL(n，K)。取定V在K上任一組基后可將每個(gè)g∈GL(V)對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣A∈GLn(K)，從而得到GL(V)到GLn(K)上的一個(gè)同構(gòu)。在這個(gè)意義下，可以將GL(V)與GLn(K)等同起來。

群群是一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對(duì)G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對(duì)G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對(duì)于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群;時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個(gè)群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對(duì)稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類?？梢哉f，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

典型群典型群是一類重要的群。一般線性群、酉群、辛群、正交群，以及它們的換位子群、對(duì)中心的商群等統(tǒng)稱為典型群。實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上的典型群是李群的重要例子，它們的構(gòu)造及表示在李群理論、幾何學(xué)、多復(fù)變函數(shù)論以至物理學(xué)中都起著重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通過對(duì)有限域上典型群的構(gòu)造的研究得到了一大批有限單群.這是繼交錯(cuò)群之后人們發(fā)現(xiàn)的又一批重要的有限單群系列。經(jīng)過謝瓦萊(Chevalley，C.)的工作進(jìn)一步擴(kuò)展為有限李型單群的系列后，為有限單群分類的最后完成奠定了一個(gè)重要基礎(chǔ)。迪厄多內(nèi)(Dieudonné，J.)將迪克森的工作加以推廣，通過研究任意體上的典型群的構(gòu)造也得到了大量的單群。迪厄多內(nèi)、施賴埃爾(Schreier，O.)、范·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)、華羅庚、萬哲先等對(duì)研究典型群的構(gòu)造、自同構(gòu)及同構(gòu)作出了重要貢獻(xiàn)。2

相似群酉群酉群是一類重要的典型群。在復(fù)數(shù)域的特殊情形，全體n×n酉方陣在矩陣乘法下構(gòu)成的群稱為n次酉群，記為U(n)。一般地，設(shè)K是帶有對(duì)合J：a→a-的體，V是K上n維列向量空間，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，這里H∈GLn(K)且=εH，ε=±1。若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)對(duì)所有的x，y∈V成立，則稱A是關(guān)于f的酉變換。關(guān)于f的全體酉變換組成GL(V)的一個(gè)子群，稱為關(guān)于f的酉群，記為Un(K，f)。從矩陣的觀點(diǎn)看，Un(K，f)={A∈GLn(K)|HA=H}。當(dāng)f是交錯(cuò)雙線性型時(shí)Un(K，f)就是辛群Spn(K，f);當(dāng)K的特征≠2且f是對(duì)稱雙線性型時(shí)Un(K，f)就是正交群On(K，f);當(dāng)K是復(fù)數(shù)域，J是復(fù)共軛，H=I時(shí)，酉群Un(K，f)就是酉群U(n)。3

辛群辛群是一類重要的群。辛空間的自同構(gòu)群。設(shè)(V，ω)是一辛空間，若φ：V→V是線性同構(gòu)且滿足ω(φX，φY)=ω(X，Y)，X，Y∈V，則稱φ為(V，ω)的一個(gè)自同構(gòu).(V，ω)的自同構(gòu)全體構(gòu)成群GL(V)的一個(gè)子群，記為SP(V，ω)。特別地，標(biāo)準(zhǔn)辛空間(K，ω)的自同構(gòu)群記為Sp(2n，K)。若K=R(實(shí)數(shù)域)，則把Sp(2n，K)簡(jiǎn)記為Sp(2n)并稱它為2n維辛群。

正交群正交群是一類重要的典型群。在實(shí)數(shù)域的特殊情形，全體n×n正交方陣在矩陣乘法下構(gòu)成的群稱為n次正交群，記為O(n)。一般地，設(shè)V是域K上n維列向量空間，Q(x)=xAx是V上的非退化二次型(A是K上某個(gè)n×n矩陣)，若g∈GL(V)使Q(gx)=Q(x)對(duì)所有的x∈V成立，則稱g是關(guān)于Q的正交變換。關(guān)于Q的全體正交變換在映射乘法下構(gòu)成一個(gè)群，稱為關(guān)于Q的正交群，記為On(K，Q).當(dāng)K的特征≠2時(shí)，V上每個(gè)非退化對(duì)稱雙線性型f也決定一個(gè)正交群：

其中Q(x)=f(x，x)/2.當(dāng)K是實(shí)數(shù)域，Q是單位二次型Q(x)=x·x時(shí)的正交群On(K，Q)就是O(n)。4