[科普中國]-射影一般線性群

概念

射影一般線性群(projective general lineargroup)是一類典型群。即一般線性群對(duì)中心的商群。一般線性群GLn(K)對(duì)它的中心的商群稱為K上n次射影一般線性群，記為PGLn(K)。GLn(K)的中心由所有的形如λI的純量陣組成，其中λ跑遍K中所有的非零的中心元素。若V是K上n維右向量空間，P(V)是V的全體一維子空間的集合(即射影空間)，則由GL(V)在P(V)上的作用所得到的群PGL(V)就是射影一般線性群PGLn(K)。

群群是一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對(duì)G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：2

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對(duì)G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對(duì)于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群;時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個(gè)群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對(duì)稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

一般線性群一般線性群亦稱全線性群。一類重要的典型群。若V是體K上n維右線性空間，則V上全體可逆線性變換在映射的乘法下構(gòu)成一個(gè)群，稱為V上的一般線性群或全線性群，記為GL(V)。體K上全體n×n可逆方陣在矩陣乘法下構(gòu)成一個(gè)群，稱為K上n次一般線性群，記為GLn(K)或GL(n，K)。取定V在K上任一組基后可將每個(gè)g∈GL(V)對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣A∈GLn(K)，從而得到GL(V)到GLn(K)上的一個(gè)同構(gòu)。在這個(gè)意義下，可以將GL(V)與GLn(K)等同起來。

典型群典型群是一類重要的群。一般線性群、酉群、辛群、正交群，以及它們的換位子群、對(duì)中心的商群等統(tǒng)稱為典型群。實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上的典型群是李群的重要例子，它們的構(gòu)造及表示在李群理論、幾何學(xué)、多復(fù)變函數(shù)論以至物理學(xué)中都起著重要作用.迪克森(Dickson，L.E.)通過對(duì)有限域上典型群的構(gòu)造的研究得到了一大批有限單群.這是繼交錯(cuò)群之后人們發(fā)現(xiàn)的又一批重要的有限單群系列。經(jīng)過謝瓦萊(Chevalley，C.)的工作進(jìn)一步擴(kuò)展為有限李型單群的系列后，為有限單群分類的最后完成奠定了一個(gè)重要基礎(chǔ)。迪厄多內(nèi)(Dieudonné，J.)將迪克森的工作加以推廣，通過研究任意體上的典型群的構(gòu)造也得到了大量的單群.迪厄多內(nèi)、施賴埃爾(Schreier，O.)、范·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)、華羅庚、萬哲先等對(duì)研究典型群的構(gòu)造、自同構(gòu)及同構(gòu)作出了重要貢獻(xiàn)。

商群亦稱因子群，又稱模H的剩余類群。由正規(guī)子群的陪集組成的一種群。設(shè)H是群G的一個(gè)正規(guī)子群，G關(guān)于H的所有左陪集所成的集合G/H={xH|x∈G}按照如下的乘法：(xH)(yH)=(xy)H成為一個(gè)群，稱為G關(guān)于H的商群。由于H是正規(guī)子群，xH=Hx，所以G/H也是H的右陪集所成的集合，因此，無論用左陪集還是右陪集來定義商群，結(jié)果是一致的。當(dāng)G是加法群時(shí)，G/H也常寫成G-H，稱為差群。

設(shè)G為群，R為與G的法則相容的G中之等價(jià)關(guān)系. 賦以商法則，則商集G/R是群，稱在G對(duì)R的商群.G的中性元素的等價(jià)類是G的正規(guī)子群. 反之，對(duì)G的任一正規(guī)子群G′，由滿足：

的偶(x，y)定義的關(guān)系R是與G的法則相容的等價(jià)關(guān)系。商群G/R叫做G對(duì)G′的商群，記為G/G′。

相似群酉群酉群是一類重要的典型群。在復(fù)數(shù)域的特殊情形，全體n×n酉方陣在矩陣乘法下構(gòu)成的群稱為n次酉群，記為U(n).一般地，設(shè)K是帶有對(duì)合J：a→a-的體，V是K上n維列向量空間，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，這里H∈GLn(K)且=εH，ε=±1.若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)對(duì)所有的x，y∈V成立，則稱A是關(guān)于f的酉變換.關(guān)于f的全體酉變換組成GL(V)的一個(gè)子群，稱為關(guān)于f的酉群，記為Un(K，f).從矩陣的觀點(diǎn)看，Un(K，f)={A∈GLn(K)|HA=H}.當(dāng)f是交錯(cuò)雙線性型時(shí)Un(K，f)就是辛群Spn(K，f);當(dāng)K的特征≠2且f是對(duì)稱雙線性型時(shí)Un(K，f)就是正交群On(K，f);當(dāng)K是復(fù)數(shù)域，J是復(fù)共軛，H=I時(shí)，酉群Un(K，f)就是酉群U(n)。3

辛群辛群是指一類重要的群。辛空間的自同構(gòu)群。設(shè)(V，ω)是一辛空間，若φ：V→V是線性同構(gòu)且滿足ω(φX，φY)=ω(X，Y)，X，Y∈V，則稱φ為(V，ω)的一個(gè)自同構(gòu)。(V，ω)的自同構(gòu)全體構(gòu)成群GL(V)的一個(gè)子群，記為SP(V，ω)。特別地，標(biāo)準(zhǔn)辛空間(K，ω)的自同構(gòu)群記為Sp(2n，K).若K=R(實(shí)數(shù)域)，則把Sp(2n，K)簡(jiǎn)記為Sp(2n)并稱它為2n維辛群。4