[科普中國(guó)]-平集格

平集格(lattice of flats)是一種組合構(gòu)形。在偏序集P=(E，≤)上所有平集構(gòu)成的格L，其序關(guān)系為集合包容關(guān)系。1

概念平集格(lattice of flats)是一種組合構(gòu)形。在偏序集P=(E，≤)上所有平集構(gòu)成的格L，其序關(guān)系為集合包容關(guān)系。在平集格L中，交運(yùn)算為S∧T=S∩T，而結(jié)運(yùn)算為S∨T=∩{A∈L|S∪TA}，即L中包容S和T之并集的所有集合的交集。

格“格”一種特殊的偏序集。在許多數(shù)學(xué)對(duì)象中，所考慮的元素之間具有某種順序。

例如，一組實(shí)數(shù)間的大小順序；一個(gè)集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊(yùn)涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質(zhì)及作用而產(chǎn)生的概念和理論。

格論在代數(shù)學(xué)、射影幾何學(xué)、集合論、數(shù)理邏輯、泛函分析以及概率論等許多數(shù)學(xué)分支中都有應(yīng)用。例如，在代數(shù)學(xué)中，對(duì)于一個(gè)群G與其子群格（G）之間關(guān) 系的研究。在數(shù)理邏輯中，關(guān)于不可解度的研究。

格的定義：設(shè)（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個(gè)元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。

格論格論論述次序及包含的性質(zhì)，是布爾代數(shù)的推廣，現(xiàn)已成為代數(shù)的重要組成部分，并在泛函分析、賦值論、幾何、邏輯、計(jì)算機(jī)科學(xué)、圖論等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂格即指在集合L中定義兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算∨和∧，這兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算滿足：(1)a∨a = a ， a∧ a = a(冪等律)；(2)a ∨ b = b ∨ a，a ∧ b=b ∧ a(交換律)；(3)a ∨交換律；(3)a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨c，a ∧ b(b ∧ c)=(a∧b) ∧ c(結(jié)合律)；(4)a ∨ (a ∧b)=a，a ∧ (a∨ b)=a(吸收律)，記作(L，≤)。格論中最重要的概念是集合上的半序關(guān)系。格的種類有分配格、模格、完全格等。1

偏序集設(shè)A是一個(gè)集合，若在A內(nèi)存在一個(gè)關(guān)系“≤”，它滿足：

①反身性 對(duì)于任何a∈A，有a≤a；

②反對(duì)稱性 對(duì)于a，b∈A，若a≤b，且b≤a，則a=b；

③傳遞性 對(duì)于a，b，c∈A，若a≤b，b≤c，則a≤c。

則稱“≤”是集合A的一個(gè)偏序關(guān)系，也稱作半有序關(guān)系。

如果a≤b，就叫做a不在b的后面，或b不在a的前面。

在一個(gè)集合A內(nèi)，如果建立了一個(gè)偏序關(guān)系≤，就稱集合A對(duì)于關(guān)系≤成為一個(gè)偏序集，也稱作半有序集。記作(A，≤)。

由上述定義可知，偏序集就是一個(gè)集合A加上一個(gè)偏序關(guān)系≤。

例如，實(shí)數(shù)集R對(duì)于關(guān)系“≤”構(gòu)成偏序集(R，≤)。

再如，設(shè)I是一個(gè)全集，冪集P(I)對(duì)于關(guān)系“?”是一個(gè)偏序關(guān)系，(P(I)，?)是一個(gè)偏序集。值得注意的是，當(dāng)A，B?P(I)，且A∩B=Φ時(shí)，A?B和B?A都不成立，但這不要緊，因?yàn)槎x中不要求對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素a和b，a≤b或b≤a必有一個(gè)成立，這就是說(shuō)，它只要求這種順序關(guān)系≤在部分元素中成立。

集合論集合論是以研究集合概念及其運(yùn)算、集合中元素的序與關(guān)系、無(wú) 究集合的基數(shù)為對(duì)象的數(shù)學(xué)分支。 集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所有數(shù) 學(xué)概念的精確定義都有賴于集合論。

集合論中的中心難點(diǎn)是無(wú)究集合的概念。分析的嚴(yán)密化促使人們 探索實(shí)數(shù)集合的結(jié)構(gòu)，從而必然導(dǎo) 致無(wú)究集合概念的出現(xiàn)。但在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，包括高斯(Gauss， C.F.)、柯希(Cauch，A.L.)在內(nèi)的 眾多數(shù)學(xué)家不承認(rèn)無(wú)究集合的存 在。波爾察諾 (Bolzano，B.)在 《無(wú)究悖論》(1851)一書中維護(hù)了 實(shí)在無(wú)究集合的存在性，但在遇到 矛盾時(shí)，又得出對(duì)于超限數(shù)無(wú)需建 立運(yùn)算不用深入研究的結(jié)論?？低?(Cantor，G.)致力于無(wú)究集合的研 究，從1874年開(kāi)始在 《數(shù)學(xué)年 鑒》數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表了一系列文 章，奠定了集合論的基礎(chǔ)。

“集合”一詞在通常意義下指具 有共同屬性的事物或同類事物的匯總?？低兴o的定義帶有哲學(xué)的味 道： 集合是我們的感覺(jué)或者思維所 完全確定的某些對(duì)象匯總成一個(gè)整 體的結(jié)果。構(gòu)成集合的對(duì)象稱為元素。由羅素(Russell，B.)給出的悖論指出了上述定義蘊(yùn)含著矛盾，從 而表明集合這一概念難以有準(zhǔn)確的 數(shù)學(xué)表述。為克服上述矛盾，從 20世紀(jì)初開(kāi)始發(fā)展起來(lái)的集合論公理系統(tǒng)，它包含4個(gè)基本原則：

(1)外延性原則。兩個(gè)具有相同元素的集合是恒等的。

(2)集合構(gòu)造原則。一定的限制類型的命題方能定義集合。

(3)無(wú)究集合的存在原理。1

(4)選擇公理。如果S為非空集的一個(gè)系統(tǒng)，那么存在一集合 A，它與S中每個(gè)集合有且僅有一個(gè)公共元素。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)