[科普中國(guó)]-嘉當(dāng)矩陣

李代數(shù)

所謂廣義嘉當(dāng)矩陣是具有下述性質(zhì)的方陣：2

各項(xiàng)皆為整數(shù)：。

對(duì)角線上的項(xiàng)等于二：。

非對(duì)角線項(xiàng)非正：

。

存在正對(duì)角方陣D 使 A 可以寫成 ，其中 S 是對(duì)稱方陣。

第四個(gè)條件可由第一及第五個(gè)條件導(dǎo)出。在第五個(gè)條件中，若可取 S 為正定，則稱 A為嘉當(dāng)矩陣。

若兩個(gè)嘉當(dāng)矩陣差一個(gè)排列矩陣的共軛：，則稱兩者同構(gòu)。若一嘉當(dāng)矩陣同構(gòu)于分塊對(duì)角的嘉當(dāng)矩陣，則稱之為可化的，反之則稱為不可化。

由半單李代數(shù)可以得到根系，對(duì)應(yīng)的廣義嘉當(dāng)矩陣定義為

其中 是選定的單根。單李代數(shù)對(duì)應(yīng)于不可化嘉當(dāng)矩陣。

不可化嘉當(dāng)矩陣可透過(guò)連通丹金圖分類。具體方式是取 n 個(gè)頂點(diǎn)（n 為嘉當(dāng)矩陣 A 的階數(shù)），將頂點(diǎn) i,j以條邊相連。定義每個(gè)頂點(diǎn)的權(quán) 使得，若兩個(gè)相鄰頂點(diǎn) i,j 的權(quán)不同，則規(guī)定邊從權(quán)大者指向小者。這套模式類似于從根系定義丹金圖的手法。

表示理論對(duì)于域 F上的有限維結(jié)合代數(shù) A，考慮不可約、 F-有限維左 A-模，對(duì)每個(gè) ，存在唯一的不可分解左射影模（至多差一個(gè)同構(gòu)），使得 。取為 在的合成列中作為合成因子的重?cái)?shù)。方陣 稱為 A的嘉當(dāng)矩陣。