[科普中國]-單列代數(shù)

概念介紹

單列代數(shù)(uniserial algebra)亦稱主理想代數(shù)。單側(cè)理想是主理想的特殊代數(shù)類。域F上有限維代數(shù)，其任意右理想或任意左理想都是主理想的代數(shù)稱為單列代數(shù)。單列代數(shù)的商代數(shù)恒為擬弗羅貝尼烏斯代數(shù)。這類代數(shù)有一個(gè)重要性質(zhì)是：單列代數(shù)上任意不可分解模都同構(gòu)于主模的商模，并且此不可分解模由其長度和投射覆蓋惟一確定。1

理想理想是集合論中的基本概念之一。設(shè)S為任意集合，若I?P(S)且滿足：1

1.?∈I;

2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;

3.若X，Y?S，X∈I，Y?X，則Y∈I;

則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的幾乎每個(gè)分支中均有應(yīng)用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數(shù)上的理想即為集合上的理想的一種變體。設(shè)B為任意布爾代數(shù)，若B的一個(gè)子集I滿足：

1.0∈I，1?I(其中0，1分別為布爾代數(shù)B中的零元與么元);

2.對(duì)任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.對(duì)任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

則稱I為B上的理想。

理想與濾子有非常密切的聯(lián)系。2

主理想一類具體的理想。指由環(huán)的一個(gè)子集生成的理想。設(shè)S是環(huán)R的非空子集，R中含S的一切理想(左、右理想){Aα}的交是R中含S的最小理想(左、右理想)，記為：3

稱為由S生成的理想(左、右理想)。當(dāng)S={a}時(shí)，

其中x∈R，n為整數(shù)。分別稱為由a生成的主理想(主左、主右理想)。當(dāng)S={a1，a2，…，an}時(shí)，

若整環(huán)R的每個(gè)理想恒為主理想，則稱R為主理想環(huán)。例如，整數(shù)環(huán)、域上一元多項(xiàng)式環(huán)、歐氏環(huán)皆為主理想環(huán)。

性質(zhì)單列代數(shù)的商代數(shù)恒為擬弗羅貝尼烏斯代數(shù)。

商代數(shù)一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)模它的同余關(guān)系產(chǎn)生的新的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

集A上的等價(jià)關(guān)系～將A劃分成互不相交的等價(jià)類的并，記成?=A/～，即?的元素[a]是a所在的等價(jià)類.?稱為A關(guān)于～的商集.進(jìn)一步，設(shè)～是代數(shù)結(jié)構(gòu)〈A，?〉上的等價(jià)關(guān)系，并且對(duì)任意a，b∈A，若a～b，對(duì)任何c∈A，都有a?C～b?c，且c?a～c?b，則稱等價(jià)關(guān)系～是〈A，?〉上的同余關(guān)系.例如，模m同余，a≡b (modm)，當(dāng)且僅當(dāng)m| (a-b)，是〈Z，+〉上的一個(gè)同余關(guān)系，并且模m同余也是〈Z，+，·〉上的同余關(guān)系。又如，群〈G，·〉的正規(guī)子群N確定的陪集關(guān)系R，aRb當(dāng)且僅當(dāng)ab∈N，是〈G，+〉上的同余關(guān)系。

設(shè)～是代數(shù)結(jié)構(gòu)〈A，?〉上的同余關(guān)系，則可在商集?=A/～上定義運(yùn)算*。

[a1] * [a2]=[a1·a2]

稱代數(shù)結(jié)構(gòu)〈A/～，*)=〈?，* 〉為〈A，?〉(關(guān)于～)的商代數(shù)。

例如，剩余類環(huán)〈Zm，+，·〉是〈Z，+，·〉的一個(gè)商代數(shù)，群〈G，·〉關(guān)于正規(guī)子群N的商群〈G/N·〉就是由N確定的陪集關(guān)系確定的商代數(shù)。

一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)必定與它的商代數(shù)同態(tài)，把任一元素對(duì)應(yīng)到這個(gè)元素所在的等價(jià)類的映射就是代數(shù)結(jié)構(gòu)到其商代數(shù)的同態(tài)映射。反過來，代數(shù)結(jié)構(gòu)A的任何一個(gè)同態(tài)映射可以導(dǎo)出A的一個(gè)同余關(guān)系～，并得到商代數(shù)A/～，A/～必與A的同態(tài)象同構(gòu)。4

擬弗羅貝尼烏斯代數(shù)簡稱QF代數(shù)。一類重要的特殊代數(shù)。域F上代數(shù)A，若它的一切投射模都是內(nèi)射模，等價(jià)地說，它的正則模是內(nèi)射模，則稱A為擬弗羅貝尼烏斯代數(shù)。這類代數(shù)也可從代數(shù)內(nèi)部刻畫：代數(shù)A是擬弗羅貝尼烏斯代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)A的左、右理想格反同構(gòu)。域F上代數(shù)A是QF代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)A是QF環(huán)。這類代數(shù)起源于對(duì)有限群表示的研究，由中山正(Nakayama，T.)引入。

中山正是日本數(shù)學(xué)家。生于東京。1935年畢業(yè)于東京大學(xué)理學(xué)部數(shù)學(xué)科。同年任大阪大學(xué)助教；1937年應(yīng)邀到美國普林斯頓高級(jí)研究所工作兩年；1941年以弗羅伯尼斯多元環(huán)的研究獲理學(xué)博士；1942年任名古屋大學(xué)助理教授，1944年升教授。1947年以無限維多元環(huán)理論的研究獲中部日本文化獎(jiǎng)。1953年以環(huán)論和表示論的研究獲日本學(xué)士院獎(jiǎng)。1963年當(dāng)選日本學(xué)士院院士。

中山正是日本代數(shù)學(xué)研究的先驅(qū)，為使日本數(shù)學(xué)達(dá)到國際水平作出了重要貢獻(xiàn)。他的工作涉及代數(shù)學(xué)中幾乎所有課題，主要成就包括構(gòu)造以有限維代數(shù)域上的伽羅瓦群為系數(shù)的上同調(diào)群，澄清格群和弗羅伯尼斯代數(shù)的結(jié)構(gòu)，發(fā)展一般同調(diào)代數(shù)和類域論等。交換代數(shù)中的“中山引理”是該學(xué)科的基本概念。著作多部，包括《格論》(1944)、《代數(shù)學(xué)》(1954)、《同調(diào)代數(shù)學(xué)》(1957)等等。 5