[科普中國]-嘉當子代數(shù)

概念介紹

嘉當子代數(shù)(Cartan subalgebra)是研究李代數(shù)分解時常用的一類子代數(shù)。設(shè)L為域F上的李代數(shù)，若L的子代數(shù)h是極大冪零子代數(shù)，且它的正規(guī)化子N(h)={x∈L|[x，h]h}等于h自身，則稱它為L的嘉當子代數(shù)。當L為有限維復李代數(shù)時，嘉當子代數(shù)必存在，且對任意兩個嘉當子代數(shù)h1和h2，必存在L的內(nèi)自同構(gòu)σ，使得σ(h1)=h2，即h1和h2是共軛的。在實的情形下，這個性質(zhì)不成立。當L為有限維實或復半單李代數(shù)時，嘉當子代數(shù)必為極大交換子代數(shù)。2

代數(shù)數(shù)學的一個分支。傳統(tǒng)的代數(shù)用有字符 (變量) 的表達式進行算術(shù)運算，字符代表未知數(shù)或未定數(shù)。如果不包括除法 (用整數(shù)除除外)，則每一個表達式都是一個含有理系數(shù)的多項式。例如： 1/2 xy +1/4z-3x+2/3. 一個代數(shù)方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等于零來表示對變量所加的條件。如果只有一個變量，那么滿足這一方程式的將是一定數(shù)量的實數(shù)或復數(shù)——它的根。一個代數(shù)數(shù)是某一方程式的根。代數(shù)數(shù)的理論——伽羅瓦理論是數(shù)學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死于決斗中。他證明了不可能有解五次方程的代數(shù)公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規(guī)不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多于一個變量的代數(shù)方程理論屬于代數(shù)幾何學，抽象代數(shù)學處理廣義的數(shù)學結(jié)構(gòu)，它們與算術(shù)運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(shù)(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(shù)(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結(jié)構(gòu)以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特征。特別重要的是結(jié)合律和交換律。代數(shù)方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數(shù)學的各分支。1

設(shè)K為一交換體。把K上的向量空間E叫做K上的代數(shù)，或叫K-代數(shù)，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)：

——記為加法的合成法則(x，y)?x+y;

——記為乘法的第二個合成法則(x，y)?xy;

——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)?αx，這是一個作用法則;

這三個法則滿足下列條件：

a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;

b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

設(shè)A為一非空集合. 賦予從A到K中的全體映射之集?(A，K)以如下三個法則：

則?(A， K)是K上的代數(shù)， 自然地被稱為從A到K中的映射代數(shù).當A=N時， 代數(shù)?(A，K)叫做K的元素序列代數(shù).

無論是在代數(shù)還是在分析中，代數(shù)結(jié)構(gòu)都是最常見到的結(jié)構(gòu)之一。十九世紀前半葉末，隨著哈密頓四元數(shù)理論的建立，非交換代數(shù)的研究已經(jīng)開始. 在十九世紀下半葉，隨著M.S.李的工作，非結(jié)合代數(shù)出現(xiàn)了. 到二十世紀初，由于放棄實數(shù)體或復數(shù)體作為算子域的限制，代數(shù)得到了重大擴展.

與外代數(shù)，對稱代數(shù)，張量代數(shù)，克利福德代數(shù)等一起，代數(shù)結(jié)構(gòu)在多重線性代數(shù)中也建立了起來。3

李代數(shù)李代數(shù)是一類重要的非結(jié)合代數(shù)。非結(jié)合代數(shù)是環(huán)論的一個分支，與結(jié)合代數(shù)有著密切聯(lián)系。結(jié)合代數(shù)的定義中把乘法結(jié)合律刪去，就是非結(jié)合代數(shù)。

李代數(shù)是挪威數(shù)學家S.李在19世紀后期研究連續(xù)變換群時引進的一個數(shù)學概念，它與李群的研究密切相關(guān)。在更早些時候，它曾以含蓄的形式出現(xiàn)在力學中，其先決條件是“無窮小變換”概念，這至少可追溯到微積分的發(fā)端時代?？捎美畲鷶?shù)語言表述的最早事實之一是關(guān)于哈密頓方程的積分問題。S.李是從探討具有r個參數(shù)的有限單群的結(jié)構(gòu)開始的，并發(fā)現(xiàn)李代數(shù)的四種主要類型。法國數(shù)學家é.嘉當在1894年的論文中給出變數(shù)和參變數(shù)在復數(shù)域中的全部單李代數(shù)的一個完全分類。他和德國數(shù)學家基靈都發(fā)現(xiàn)，全部單李代數(shù)分成4個類型和5個例外代數(shù)，é.嘉當還構(gòu)造出這些例外代數(shù)。é.嘉當和德國數(shù)學家外爾還用表示論來研究李代數(shù)，后者得到一個關(guān)鍵性的結(jié)果?！袄畲鷶?shù)”這個術(shù)語是1934年由外爾引進的。隨著時間的推移，李代數(shù)在數(shù)學以及古典力學和量子力學中的地位不斷上升。到20世紀80年代，李代數(shù)不再僅僅被理解為群論問題線性化的工具，它還是有限群理論及線性代數(shù)中許多重要問題的來源。李代數(shù)的理論不斷得到完善和發(fā)展，其理論與方法已滲透到數(shù)學和理論物理的許多領(lǐng)域。

記L為域F上的線性空間，若L中除了加法和純量積，還有第三種代數(shù)運算：L×L→L，記為[x，y]，對任意x，y∈L，它適合條件：

1.反對稱性 [x，x]=0， x∈L.

2.雙線性性 [λx+μy，z]=λ[x，z]+μ[y，z]，λ，μ∈F，x，y∈L.

3.Jacobi恒等式 [[x，y]，z]+[[z，x]，y]+[[y，z]，x]=0，x，y，z∈L.

則[x，y]稱為x和y的換位運算，亦稱“方括號運算”.這時L稱為域F上李代數(shù)，簡稱李代數(shù)。當L的維數(shù)有限時，稱為有限維李代數(shù);當L的維數(shù)無限時，稱為無限維李代數(shù)。例如，若L為域F上的結(jié)合代數(shù)，滿足結(jié)合律的乘法，記為ab，a，b∈L，則運算[a，b]=ab-ba， a，b∈L為換位運算.在此運算下，L為李代數(shù)。特別地，若L為由所有n×n矩陣構(gòu)成的結(jié)合代數(shù)，則在矩陣運算下定義：

[A，B]=AB-BA

便構(gòu)成一個n維李代數(shù)。

正規(guī)化子正規(guī)化子是刻畫群的子集與群的元素可換程度大小的一種概念。設(shè)S是群G的一個子集，H是G的一個子群，使得xSx={xsx|x∈S}=S的一切x∈H所構(gòu)成的集合稱為S在H中的正規(guī)化子，記為NH(S)，即NH(S)={x∈H|xSx=S}.對所有的s∈S，使得xsx=s的一切x∈H所構(gòu)成的集合，稱為S在H中的中心化子，記為CH(S)，即CH(S)={x∈H|xsx=s，s∈S}.當H=G時，習慣上簡稱S的正規(guī)化子和中心化子。G在G中的中心化子稱為G的中心，記為Z(G)或C(G)。阿貝爾群的中心為其自身，反之亦對，即若Z(G)=G，則G為阿貝爾群。4

人物簡介嘉當是法國數(shù)學家。生于法國南錫，1923年入巴黎高等師范學校學習，1926年大學畢業(yè)，1928年獲博士學位.1929—1931年，任里爾大學講師;1931—1940年，任斯特拉斯堡大學教授；1940—1969年，任巴黎大學教授;1969—1975年，任南巴黎大學教授。1967—1970年，任國際數(shù)學聯(lián)盟主席。1965年，被選為法國科學院通訊院士，1974年成為院士。1971年，被選為倫敦皇家學會外籍會員，1972年，被選為美國全國科學院外籍院士.此外，他還是日本、波蘭、馬德里及北歐國家等近10家科學院、皇家科學院的院士或榮譽院士。

嘉當是法國布爾巴基學派的創(chuàng)始人之一。在復變函數(shù)、代數(shù)拓撲、位勢理論及同調(diào)代數(shù)等方面都做出了重要貢獻.他在復變函數(shù)論從單變量向多變量發(fā)展的過程中起了重要作用。他在20世紀30年代給出了全純自同構(gòu)的惟一性定理、有界域全純自同構(gòu)群的李群性質(zhì)。1932年，他還證明了全純域與全純凸域的等價性的嘉當-蘇倫定理.他在1944年關(guān)于解析函數(shù)的理想的研究中得到的成果，同日本岡潔關(guān)于具有不定域的理想的研究，發(fā)展成了解析凝聚層理論。20世紀50年代初，他和塞爾(Serre，J.P.)在對施泰因流形的研究中引入了層系數(shù)的上同調(diào)理論，給出了多復變函數(shù)論中的嘉當定理，即施泰因流形上的凝聚解析層上的定理A和B.在第二次世界大戰(zhàn)后的15年內(nèi)，他領(lǐng)導的著名的嘉當討論班，對代數(shù)拓撲的發(fā)展起了重要的促進作用。在討論班上引入的新方法，形成了同調(diào)代數(shù)的基礎(chǔ).1954年，他和塞爾曾在上同調(diào)運算方面取得了重要成果.此外，他還引入了“濾子”等概念。他是法國第三級榮譽勛位的獲得者。1980年還獲沃爾夫數(shù)學獎.著作有《同調(diào)代數(shù)》(1956;與艾倫伯格(Eilenberg，S.)合著)等.他的主要論著均收入了三卷本的《嘉當文集》(1979)中。5