[科普中國]-始對象

始對象(initial object)是范疇論的基本概念之一，指在范疇論中起著特殊作用的一類對象，是終對象的對偶概念，它們都是零對象的推廣。設(shè)C為范疇，A∈C，若對一切B∈C，Hom(A，B)都只有一個(gè)元素，則稱A為范疇C的始對象，C的任何兩個(gè)始對象必是等價(jià)(同構(gòu))的。例如，阿貝爾群范疇的始對象為0(零群)1。

定義(1) 設(shè)是范疇，，若對于，都是僅含單獨(dú)一個(gè)元素的集，則稱為的始對象(initial object)。

(2) 設(shè)是范疇，，若對于，都是僅含單獨(dú)一個(gè)元素的集，則稱是的終對象(terminalobject)。

(3) 若既是始對象又是終對象，則稱是的一個(gè)零對象(null object)2。

相關(guān)定理定理1 (1)若是范疇的一個(gè)終(始)[零]對象，是范疇的一個(gè)終(始)[零]對象2。

(2) 若范疇有始(終)[零]對象，則各個(gè)始(終)[零]對象必是等價(jià)對象，因而從同構(gòu)的觀點(diǎn)看它們都是唯一的。

定理2 在一個(gè)范疇中的始對象與終對象是對偶的，從而零對象是自對偶的3。

**證明：**設(shè)表示范疇中始對象的定義。于是

：是中的始對象，假若對于中的每一，恰有一個(gè)成員。

：是中驗(yàn)始對象，假若對于中的每一對象恰有一個(gè)成員。

：是中的終對象，假若對于中的每個(gè)，恰有一個(gè)。

命題3 設(shè)是范疇，若中的對象都是始(或終)對象，則。

證明： 若中的對象都是始對象，則都是單元集。設(shè)，于是，注意，并且是始對象，所以。同理。綜上所證，可知。

舉例分析例1在集范疇Set中空集是始對象但不是終對象，單元集是終對象但不是始對象；每個(gè)單元素集如是一個(gè)終對象而不是始對象，可以證明，它沒有零對象。

例2 在范疇Grp和Ab中僅含一個(gè)元素的群(當(dāng)群的復(fù)合運(yùn)算是乘法時(shí)是)既是它們的始對象也是它們的終對象，因而是它們的零對象。在范疇Grp中，平凡群是零對象4。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)