[科普中國]-正規(guī)概形

概念

正規(guī)概形(normal scheme)是整閉整環(huán)的推廣。若一個(gè)概形X的所有局部環(huán)OX，x都是整閉整環(huán)，則稱X是正規(guī)概形。正規(guī)概形是局部不可約的，因此它的連通分支與不可約分支重合。正規(guī)諾特概形的奇點(diǎn)集的余維數(shù)大于1。對(duì)于一個(gè)既約概形X總存在一個(gè)典范的正規(guī)概形X~與X相伴，稱為X的正規(guī)化。當(dāng)X是域上有限型概形時(shí)，X~→X一定是有限態(tài)射。2

整閉整環(huán)整閉整環(huán)亦稱正規(guī)環(huán)。刻畫戴德金整環(huán)的重要概念。若整環(huán)R在它的商域中整閉，稱R為整閉整環(huán)。例如，單一分解環(huán)、賦值環(huán)均是整閉整環(huán)。整閉性是局部性質(zhì)。3

戴德金整環(huán)是一維諾特整閉整環(huán)。整環(huán)R稱為戴德金整環(huán)。若滿足以下三個(gè)條件：

1.R是諾特環(huán).

2.R在其商域中整閉.

3.dim R=1(其中dim表示克魯爾維數(shù))，也即R不是域且非零素理想均為極大理想.

在戴德金整環(huán)R中每個(gè)準(zhǔn)素理想均為素理想的冪，從而每個(gè)非零理想均可惟一(不計(jì)因子次序)地表示為有限個(gè)素理想的積。由庫默爾(Kummer，E.E.)開創(chuàng)，戴德金(Dedekind，(J.W.)R.)所建立起來的戴德金整環(huán)的理論已十分完整，但有些重要的諾特環(huán)，例如，域F和整數(shù)環(huán)Z上多項(xiàng)式環(huán)F[x1，x2，…，xn]，Z[x1，x2，…，xn]均非戴德金整環(huán)。

概形概形是代數(shù)幾何的基本研究對(duì)象。它實(shí)際上就是一個(gè)局部同構(gòu)于仿射概形的局部環(huán)空間。更精確地，概形(X，OX)是一個(gè)環(huán)空間，其拓?fù)淇臻gX有一個(gè)開覆蓋{Xi}i∈I，使得(Xi，OX|Xi)同構(gòu)于仿射概形Spec Γ(Xi，OX)(這樣的覆蓋稱為仿射開覆蓋)。概形間的態(tài)射就是局部環(huán)空間的態(tài)射。概形的范疇是局部環(huán)空間范疇的子范疇。若概形X有一個(gè)仿射開覆蓋{Xi}，使得每個(gè)仿射概形都是諾特概形、既約概形、正規(guī)概形或正則概形，則相應(yīng)地稱概形X是局部諾特的、既約的、正規(guī)的或正則的.這些性質(zhì)都是概形的局部性質(zhì)，就是說，只要存在一個(gè)仿射開覆蓋具有上述某種性質(zhì)，這個(gè)概形就具有此性質(zhì)，而且任意一個(gè)仿射開子概形都有此性質(zhì)。若概形X的拓?fù)淇臻g是連通空間或不可約空間(即它不能表成兩個(gè)不同真閉子集的并)，則稱此概形為連通的或不可約的。

在研究概形的性質(zhì)或有關(guān)的概念時(shí)，往往要考慮具有相同基礎(chǔ)的概形。帶有態(tài)射f：X→S的概形X稱為S概形.若S=Spec A是仿射概形，則S概形簡稱A概形。顯然任何概形都是Z概形。給出基變換態(tài)射S′→S后，可以得到一個(gè)S′概形XS′=X×SS′，稱為S概形X的基擴(kuò)張.與S概形相關(guān)的概念稱為相對(duì)概念，以區(qū)別于與概形相關(guān)的絕對(duì)概念。S概形與態(tài)射f：X→S密切相關(guān).不同性質(zhì)的態(tài)射就給出了不同的S概形.例如，設(shè)f：X→S是一個(gè)態(tài)射，若對(duì)角浸入X→X×SX是閉態(tài)射，則稱f是分離態(tài)射；若存在S的一個(gè)仿射開覆蓋{Ui}={Spec Bi}，使得每個(gè)f(Ui)都有一個(gè)有限仿射開覆蓋{Vij}={Spec Aij}，并且Aij都是有限生成Bi代數(shù)，則稱f是有限型的;若f(Ui)=Spec Ai，Ai都是有限生成Bi模，則稱f是有限態(tài)射。有限態(tài)射是仿射態(tài)射。代數(shù)幾何中研究的S概形一般都是分離、有限型的。

諾特環(huán)與諾特概形諾特環(huán)設(shè)R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，如果R的每個(gè)理想鏈I1?I2?I3?…都存在整數(shù)n，使得對(duì)任何i≥n，Ii=In，則稱R是一個(gè)諾特環(huán)。設(shè)R是一個(gè)交換環(huán)，R的理想Q稱為準(zhǔn)素理想，如果Q≠R，對(duì)任意的a，b∈R，若ab∈Q，a?Q，則必存在正整數(shù)n，使得b∈Q。設(shè)I是交換環(huán)R的理想，I的根(或稱冪零根)是包含I的所有素理想之交，記作或radI。準(zhǔn)素理想的根是一個(gè)素理想，這個(gè)素理想稱為與Q結(jié)合的素理想，或Q是屬于這個(gè)素理想的準(zhǔn)素理想。交換環(huán)R中的理想I稱為有準(zhǔn)素分解，如果I=Qi∩…∩Qn，其中Qi，i=1，…，n都是準(zhǔn)素理想。如果每個(gè)Qi都不包含Q1∩…∩Qi-1∩Qi+1∩…∩Qn，而且Qi的根互不相同，則稱這樣的準(zhǔn)素分解是既約的。一個(gè)有單位元的交換環(huán)R是諾特環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的每個(gè)理想是有限生成的，當(dāng)且僅當(dāng)R滿足理想的極大條件：對(duì)R的任一個(gè)理想的非空族{Iλ}，其中必存在極大元I，即若J∈ {Iλ}，I?J，則I=J。含幺交換環(huán)是諾特環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)素理想是有限生成的。諾特環(huán)R的每個(gè)理想I，I≠R，有準(zhǔn)素分解，而且若I=A1∩…∩An，I=B1∩…∩Bm是兩個(gè)既約準(zhǔn)素分解，其中Ai是屬于Pi的準(zhǔn)素理想，Bj是屬于Qj的準(zhǔn)素理想，則n=m，而且適當(dāng)重排順序后，Pi=Qi。環(huán)R的非空子集S稱為R的一個(gè)乘閉子集，如果對(duì)任何a，b∈S，ab∈S。設(shè)S是交換環(huán)R的一個(gè)乘閉子集，在集合R×S上定義一個(gè)關(guān)系～： (r，s) ～ (r′，s′)，如果存在S1∈S使得s1(rs′-r′s) =0，這個(gè)關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，(r，s)所在等價(jià)類記作r/s，R×S的全體等價(jià)類做成的集合記作SR，在SR中定義則SR做成一個(gè)有單位元的交換環(huán)。SR稱為R對(duì)于S的分式環(huán)。一個(gè)有單位元的交換環(huán)稱為局部環(huán)，如果它只有一個(gè)極大理想。設(shè)R是有單位元的交換環(huán)，P是R的素理想，令S=R\P，則S是R的乘閉子集，分式環(huán)SR是一個(gè)局部環(huán)，稱為R在P處的局部化，記作Rp。設(shè)S是諾特環(huán)R的乘閉子集，則SR也是諾特環(huán)。設(shè)R是—個(gè)諾特環(huán)，R[x1，…，xn]是R上文字x1，…，xn的多項(xiàng)式全體做成的環(huán)，則R[x1，…，xn]也是諾特環(huán)，這個(gè)結(jié)論稱為希爾伯特基定理。設(shè)R是一個(gè)諾特環(huán)，R[[x]]是R上文字x的形式冪級(jí)數(shù)全體做成的環(huán)，則R[[x]]也是諾特環(huán)。4

諾特概形諾特概形是諾特環(huán)的推廣。若一個(gè)概形X有一個(gè)由諾特環(huán)的譜所構(gòu)成的有限仿射開覆蓋，則稱X是諾特概形。諾特概形中的任意一個(gè)仿射開子概形都是諾特環(huán)的譜。域上或諾特環(huán)上的有限型概形都是諾特概形。