[科普中國]-射影態(tài)射

概念

射影態(tài)射(projective morphism)是射影簇的推廣及相對化。設(shè)S是一個概形，Z上射影空間：

PZ=Proj Z[T0，T1，…，Tn]

用S→Spec Z做基擴(kuò)張后可以得到S上的射影空間PS=PZ×Spec ZS。若態(tài)射f：X→S可以分解為一個閉浸入X→PS以及投影PS→S的復(fù)合，則稱f是射影態(tài)射，X稱為射影S概形。直觀地看，射影S概形就是S上某個射影空間的閉子概形。諾特概形的射影態(tài)射一定是正常態(tài)射。射影態(tài)射是一個整體概念，即射影態(tài)射f：X→S在任一點s∈S上的纖維f(s)都是剩余域k(s)上的射影概形；但反之則不對。當(dāng)S=Spec A是仿射概形時，射影S概形一定是某個分次A代數(shù)的齊次譜。當(dāng)S是一般概形時，一定存在分次OS代數(shù)層R，使得射影S概形同構(gòu)于Proj R。

向量空間設(shè)K為交換體。稱賦以由下列兩個給定法則所定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合E為K上的向量空間：

——記為加法的合成法則，

——記為乘法的作用法則，即從K×E到E中的映射，

這兩個法則滿足下列條件：

a)賦以加法的集合E是交換群；

b) 對K的任一元素偶(α，β)，以及對E的任一元素x，

α(βx)=(αβ)x；

c) 對E的任一向量x，1x=x，其中1表示體K的單位元素;

d)對K的任一元素偶(α，β)，以及對E的任一元素偶(x，y)，

(α+β)x=αx+βx

α(x+y)=αx+αy.

當(dāng)體K不再假定為交換的時，滿足上述條件的集合E稱為K上的左向量空間。

如果條件α(βx)=(αβ)x換為α(βx)=(βα)x，則稱E為K上的右向量空間。2

射影空間射影空間是整體幾何最基本的研究對象之一。射影空間的概念最初產(chǎn)生于古典射影幾何。對于射影定理中的奇異情形(即有些直線相互平行的情形)，為方便起見引入無窮遠(yuǎn)點的概念，即規(guī)定平面上每條直線上有一個無窮遠(yuǎn)點，兩條直線平行就是相交于無窮遠(yuǎn)點，所有無窮遠(yuǎn)點組成一條無窮遠(yuǎn)直線。這種構(gòu)造方法還可以推廣到高維空間，建立n維(實)射影空間PR。在n維射影空間中常采用齊次坐標(biāo)(X0∶X1∶…∶Xn)，其中X0，X1，…，Xn不全為0；若a≠0，則(aX0∶aX1∶…∶aXn)與(X0∶X1∶…∶Xn)表示同一個點。因此n維(實)射影空間同構(gòu)于(R-{0})/R。進(jìn)一步的研究表明PR是緊致解析流形。若令Ui(0≤i≤n)為PR中坐標(biāo)Xi≠0的點全體，則UiR，且U0，U1，…，Un組成PR的一個開覆蓋。上述構(gòu)造方法可以推廣到任意體K上，建立K上的n維射影空間PK。在概形理論中，還將射影空間建立在整數(shù)環(huán)Z上，即建立射影概形PZ。由此對任意概形X可以建立PX，它是X和PZ(在Spec Z上)的纖維積。特別地，若X=Spec K(K為域)，則PX=PnK。

由于射影空間的性質(zhì)非常豐富難以全面列舉，僅舉數(shù)例如下：

1.PR同胚于圓，PC可看做添上無窮遠(yuǎn)點的復(fù)平面，同胚于球面.

2.PR是單側(cè)曲面，可以同胚地嵌入四維空間R，但不能同胚地嵌入三維空間R，PC是代數(shù)極小曲面.

3.PC是克勒流形，它的閉解析子空間都是代數(shù)的.

4.對任意域k，Pk是齊性空間，其切叢由整體向量場生成，其自同構(gòu)群為射影群PSL(n+1，k)，其皮卡群Pic(Pk)Z。

射影簇設(shè)P(E)為由向量空間E導(dǎo)出的射影空間。對E的任一向量子空間E′，在典范映射π下，E′-{0}的象叫做射影線性簇，射影簇或射影子空間，并記為P(E′)。

概形概形是代數(shù)幾何的基本研究對象。它實際上就是一個局部同構(gòu)于仿射概形的局部環(huán)空間。更精確地，概形(X，OX)是一個環(huán)空間，其拓?fù)淇臻gX有一個開覆蓋{Xi}i∈I，使得(Xi，OX|Xi)同構(gòu)于仿射概形Spec Γ(Xi，OX)(這樣的覆蓋稱為仿射開覆蓋)。概形間的態(tài)射就是局部環(huán)空間的態(tài)射。概形的范疇是局部環(huán)空間范疇的子范疇。若概形X有一個仿射開覆蓋{Xi}，使得每個仿射概形都是諾特概形、既約概形、正規(guī)概形或正則概形，則相應(yīng)地稱概形X是局部諾特的、既約的、正規(guī)的或正則的。這些性質(zhì)都是概形的局部性質(zhì)，就是說，只要存在一個仿射開覆蓋具有上述某種性質(zhì)，這個概形就具有此性質(zhì)，而且任意一個仿射開子概形都有此性質(zhì).若概形X的拓?fù)淇臻g是連通空間或不可約空間(即它不能表成兩個不同真閉子集的并)，則稱此概形為連通的或不可約的。

在研究概形的性質(zhì)或有關(guān)的概念時，往往要考慮具有相同基礎(chǔ)的概形。帶有態(tài)射f：X→S的概形X稱為S概形.若S=Spec A是仿射概形，則S概形簡稱A概形。顯然任何概形都是Z概形。給出基變換態(tài)射S′→S后，可以得到一個S′概形XS′=X×SS′，稱為S概形X的基擴(kuò)張.與S概形相關(guān)的概念稱為相對概念，以區(qū)別于與概形相關(guān)的絕對概念。S概形與態(tài)射f：X→S密切相關(guān).不同性質(zhì)的態(tài)射就給出了不同的S概形。例如，設(shè)f：X→S是一個態(tài)射，若對角浸入X→X×SX是閉態(tài)射，則稱f是分離態(tài)射；若存在S的一個仿射開覆蓋{Ui}={Spec Bi}，使得每個f(Ui)都有一個有限仿射開覆蓋{Vij}={Spec Aij}，并且Aij都是有限生成Bi代數(shù)，則稱f是有限型的；若f(Ui)=Spec Ai，Ai都是有限生成Bi模，則稱f是有限態(tài)射。有限態(tài)射是仿射態(tài)射。代數(shù)幾何中研究的S概形一般都是分離、有限型的。3