[科普中國]-光滑態(tài)射

基本介紹

光滑態(tài)射是光滑概形的相對化，也可看成是非異代數(shù)簇的族。設是有限型態(tài)射，若是平坦態(tài)射，并且對任一個點，纖維是剩余域上的光滑概形，則稱是光滑態(tài)射，X稱為光滑S概形，仿射S空間和射影S空間都是光滑S概形。當X和S有相同維數(shù)時平展態(tài)射是光滑態(tài)射，反之，光滑態(tài)射總可以局部地分解為平展態(tài)射與投影的合成1。

相關概念與性質(zhì)光滑態(tài)射的概念是域上非異簇概念的一種相對形式。為簡便起見，假定所有概型都是在域k 上的有限型2。

定義

k上有限型概型間的態(tài)射 相對維度n光滑，如果

(1) f為平坦；

(2) 如果 為不可約分支使 則

(3) 對每個點 (閉與否)，。

命題1

(a) 開浸沒相對維數(shù)0光滑。

(b) 底變換：設相對維數(shù)n光滑， 為任意態(tài)射，則由底擴張得到的射 也相對維數(shù)n 光滑。

(c) 復合: 若相對維數(shù)n光滑， 具相對維數(shù)m光滑，則具相對維數(shù)光滑。

(d) 積：若X及Y 對Z光滑，分別具有相對維數(shù)n及m，則相對維數(shù)在Z 上光滑。

定理1

設為k上有限型概型間態(tài)射，則具相對維數(shù)n光滑，當且僅當：

(1)平坦，且

(2) 對每個點令其中是的代數(shù)閉包，則為n維勻維且正則，(這時稱“的纖維為幾何正則，具有勻維n")

命題2

設 為代數(shù)閉域k上非異簇間的態(tài)射。令則下列條件等價：

(i) 為具有相對維數(shù)n 且光滑；

(ii)為X上n 秩的局部自由層；

(iii)對每個閉點Zariski切空間上的誘導映射為滿。

命題2設k為特征0的代數(shù)閉域，是k上有限型概型間的態(tài)射，對任意r，令{閉店}，則。

性質(zhì)1 (一般光滑性) 設為特征0代數(shù)閉域k上簇間的射，并設X為非異，則存在非空開子集使為光滑。

**注意 ：**任意群簇均為齊性空間，只要讓它以左乘積作用于自己。

定理2(Kleiman)設G為特征0代數(shù)閉域k上的群簇，X是在G下的齊性空間。設及是非異簇Y，Z 到X的態(tài)射。對任意令表示有到X的態(tài)射的Y。于是，存在一個非空開子集使得對每個為非異，它或是空集或是維數(shù)為。

性質(zhì)2(Bertini)設X 是特征0的代數(shù)閉域k 上的非異射影簇，令b是個無基點線性系，則b中幾乎每個元，將它看作X的閉子概型時，都是非異的(但可能是可約的)2。