[科普中國]-離散族

概念

離散族(discrete family)是一類集族。設(shè)U是拓?fù)淇臻gX的子集族。若對(duì)于任意x∈X，存在x的鄰域V，使得V與U中至多一個(gè)元相交，則稱U是X的離散族。U是離散族，當(dāng)且僅當(dāng)：

是兩兩不相交的局部有限族。離散族一定是局部有限族。若U可以表示為X的可數(shù)個(gè)離散族的并，則稱U是X的σ離散族。

集族集族是一種特殊的集合。以集合為元素的集合稱為集族。例如，集A的冪集P(A)是一個(gè)集族。P(P(A))，P(P(P(A))都是集族。集族常用花體字母A，B，C等表示.取A為標(biāo)號(hào)集，A到集族A的一一對(duì)應(yīng)(雙射)為f：a→Aa，則集族A可記為{Aa|a∈A}或{Aa}a∈A。當(dāng)A為線性序集{…，a，…，b，…，c，…}時(shí)，集族{…，Aa，…，Ab，…，Ac，…}稱為集列。

由一些集合作為元素所組成的集合，稱為集族。

例如，由空集φ，集合A={1，2，3}作為元素的集合M={φ，A}是一個(gè)集族。

注意，由空集φ作為元素的集合是一個(gè)集族，它已不是空集，即A={φ}，它不同于{ }。在這里，A= {φ}是具有一個(gè)元素的集合，是單元素集。2

集合集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本概念。當(dāng)我們把一組確定的事物作為整體來考察時(shí)，這一整體就叫做集合。

例如，(1)從1到10這10個(gè)自然數(shù)的全體;(2)小于100的所有質(zhì)數(shù)的全體;(3)全體自然數(shù);(4)一個(gè)班所有學(xué)生這一整體;(5)世界上所有國家組成的一個(gè)整體;等等，它們都是集合的例子。

上述例子可以看出，它們都是分別由不同的對(duì)象組成的一個(gè)整體，它們的特點(diǎn)是有確定的對(duì)象和具有一定的范圍。所以集合這個(gè)概念可以用以下的語言來描述：

集合是具有一定范圍的、確定的對(duì)象的全體。集合也簡稱為集。

在數(shù)學(xué)中，集合是一個(gè)不加定義的“原始概念”。這就是說，不能用比它更原始的概念去定義它。因此，集合在數(shù)學(xué)中被作為原始的最基本的概念來定義其它數(shù)學(xué)概念。集合是數(shù)學(xué)概念的出發(fā)點(diǎn)。

集合概念具有以下一些屬性：

(1)集合指的是一類事物的整體，而不是指其中的個(gè)別事物。

(2)集合中的任一對(duì)象具有確定性，即對(duì)于任何事物，可以通過某種法則確定其是否屬于某集合，或不屬于某集合，二者必居其一。(應(yīng)指出，不具有這條屬性的，界限不清的集合是模糊集合。我們這里所說的集合不是模糊集合，而是普通集合。)

(3)在一般情況下，約定一個(gè)集合中的各個(gè)對(duì)象是互不相同的。凡一個(gè)集合中所有相同的對(duì)象均應(yīng)合并起來成為一個(gè)對(duì)象。例如，由1，1，2，2四個(gè)數(shù)組成的集合，應(yīng)變成由1，2兩個(gè)數(shù)組成的集合。

(4)在一般情況下，集合只與組成它的成員有關(guān)，而與它的成員的順序無關(guān)。如由1，2，3，4組成的集合與由2，1，4，3組成的集合是同一個(gè)集合。

(5)一個(gè)集合不必由同一類事物作為它的對(duì)象。例如，由2， 3，a，b可以組成一個(gè)集合。

集合一般用大寫字母A，B，C，…表示。

子集子集是表示一個(gè)集合與另一個(gè)集合的一種關(guān)系。

設(shè)A和B是兩個(gè)集合，若集合B包含A，或集合A包含于B，即A?B或B?A，則把集合A叫做集合B的子集，并把集合B叫做集合A的擴(kuò)張集(或母集)，簡稱擴(kuò)集。

例如，集合A={1，2}是集合B={1，2，3，4，5}的子集；再如，設(shè)集合A={a|a為直角三角形}，集合B={a|a為三角形}，則A就是B的子集，B是A的擴(kuò)集。

根據(jù)子集的定義和包含關(guān)系的性質(zhì)，有：

①任何一個(gè)集合都是它自身的子集，同時(shí)也是它自身的擴(kuò)集；

②空集Φ是一切集合的子集；

③設(shè)A，B，C是三個(gè)集合，若A是B的子集，B又是C的子集，則A也一定是C的子集。

若一個(gè)集合A是集合B的且異于B的子集，則稱A是B的真子集，B叫做A的真擴(kuò)集，記作A?B或B?A。

根據(jù)真子集的定義，有：

①若集合A是集合B的真子集，則A的每一個(gè)元素都屬于B，但B中至少有一個(gè)元素不屬于A；

②空集Φ是任何非空集合的真子集，任何非空集合都是空集Φ的真擴(kuò)集；

③任何一個(gè)集合A都不是它自身的真子集。

拓?fù)淇臻g歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個(gè)集，在它的每一個(gè)點(diǎn)賦予一種確定的鄰域結(jié)構(gòu)便構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g。拓?fù)淇臻g是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數(shù)學(xué)家弗雷歇于1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數(shù)學(xué)家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓?fù)淇臻g定義為一個(gè)集合，并使用了“鄰域”概念，根據(jù)這一概念建立了抽象空間的完整理論，后人稱他建立的這種拓?fù)淇臻g為豪斯多夫空間(即現(xiàn)在的T2拓?fù)淇臻g)。同時(shí)期的匈牙利數(shù)學(xué)家里斯還從導(dǎo)集出發(fā)定義了拓?fù)淇臻g。20世紀(jì)20年代，原蘇聯(lián)莫斯科學(xué)派的數(shù)學(xué)家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對(duì)緊與列緊空間理論進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并在距離化問題上有重要貢獻(xiàn)。1930年該學(xué)派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規(guī)空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀(jì)30年代后，法國數(shù)學(xué)家又在拓?fù)淇臻g方面做出新貢獻(xiàn)。1937年布爾巴基學(xué)派的主要成員H.嘉當(dāng)引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質(zhì)的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結(jié)構(gòu)的概念，推廣了距離空間，還于1940年出版了《拓?fù)淙旱姆e分及其應(yīng)用》一書。1944年迪厄多內(nèi)引進(jìn)雙緊致空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學(xué)生們進(jìn)行了完整的研究。布爾巴基學(xué)派的《一般拓?fù)鋵W(xué)》亦對(duì)拓?fù)淇臻g理論進(jìn)行了補(bǔ)充和總結(jié)。

此外，美國數(shù)學(xué)家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結(jié)果。捷克數(shù)學(xué)家切赫建立起緊致空間的包絡(luò)理論，為一般拓?fù)鋵W(xué)提供了有力工具。他的著作《拓?fù)淇臻g論》于1960年出版。近幾十年來拓?fù)淇臻g理論仍在繼續(xù)發(fā)展，不斷取得新的成果。3