[科普中國]-族正規(guī)空間

族正規(guī)空間(collectionwise normal space)是一類拓撲空間。設(shè)X為拓撲空間，若對于X的任意離散的閉集族{Fα}α∈A，存在兩兩不相交的開集族{Gα}α∈A，使得Fα?Gα對于任意α∈A成立，則稱X為族正規(guī)空間。族正規(guī)空間是正規(guī)空間，族正規(guī)性是閉遺傳的，全體正規(guī)空間是族正規(guī)的，仿緊空間是族正規(guī)的。族正規(guī)空間是賓(R.H.Bing)于1951年定義的，島克(C.H.Dowker)于1952年給出了族正規(guī)空間的一個等價條件1。

定義空間是族正規(guī)(collectionwise normal)的是指對于X的任意分散的閉集族，存在不相交的開集族，對各，使成立，由此定義直接看到族正規(guī)空間是正規(guī)的2。

相關(guān)性質(zhì)定理命題1 全體正規(guī)空間X是族正規(guī)的。

定理2 (A.H. Stone)全體正規(guī)空間X的任意開覆蓋有局部有限的且分散開覆蓋加細，從而全體正規(guī)空間是仿緊的。

引理3若正則空間X的任意開覆蓋有局部有限開覆蓋加細，則X是族正規(guī)的。

引理4對于族正規(guī)空間的分散的閉集族，存在分散的開集族，對于各成立。

定理5(Michael-Nagami)族正規(guī)空間X的點有限開覆蓋可由局部有限開覆蓋細分2。

定義6集合X的二子集族和，對于的任意有限集，當和同時成立時稱為類似，記作。

定理7對于正規(guī)空間X，下述性質(zhì)等價3。

(1) X是族正規(guī)的。

(2) 若為局部有限的閉集族，且其次數(shù)為有限的，則存在局部有限開集族

(3) 若A為X的閉集，分別為A的局部有限的閉及開覆蓋，使，則存在X的局部有限開集族，使。

(4) 若A為X的閉集，為A的局部有限開覆蓋，則存在X的局部有限開集族，使，且。

定理8正規(guī)空間X是族正規(guī)且可數(shù)仿緊的充要條件是對于X的局部有限的任意閉集族存在局部有限開集族，使，且。

族正規(guī)空間作為以Banach空間為擴張子的空間可賦與下面的特征，即

**定理9 (Dowker)**X是族正規(guī)的充要條件是對于任意閉集A及Banach空間B，任意連續(xù)映射可擴張到X上3。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學