[科普中國]-可度量化空間

研究歷程

關(guān)于拓?fù)淇臻g可度量化的充分必要條件的探索是一般拓?fù)鋵W(xué)中最古老、產(chǎn)生問題最多的課題之一。

亞歷山德羅夫(Александров,П.С.)和烏雷松(Урысон,П.С.)早于1923年用開覆蓋列上的一個(gè)特殊條件提供了一個(gè)答案，大約在10年后，穆爾(Moore,R.L.)稍微改變了他們的條件，瓊斯(Jones,F.B.)于1937年稱這樣的空間為穆爾空間。度量空間是穆爾空間,反之未必成立，于是，關(guān)于可度量化定理的研究轉(zhuǎn)變?yōu)榫_地確定什么樣的穆爾空間是可度量化的。

最有名的猜測是每個(gè)正規(guī)穆爾空間是可度量化的，最近50年里對(duì)這個(gè)猜測的研究在一般拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展中起著重要的作用。瓊斯于1937年指出,若2 0，取

則,所以{a}是開集，這與X是平凡空間矛盾。3

相關(guān)定理定理1 (Urysohn嵌入定理) 每一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的T?空間都同胚于Hilbert空間Η的某一個(gè)子空間。2

定理2 Hilbert空間H是一個(gè)可分空間。

定理3 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，則下列條件等價(jià)：

(1)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的T?空間；

(2)X同胚于Hilbert空間H的某一個(gè)子空間；

(3)X是一個(gè)可分的可度量化空間。

定理4 設(shè) 是可度量化空間的一個(gè)可數(shù)族，則積空間 是一個(gè)可度量化空間。2