[科普中國(guó)]-正規(guī)擴(kuò)張

定義

正規(guī)擴(kuò)張的定義不止一種，以下三個(gè)準(zhǔn)則都可以刻畫正規(guī)擴(kuò)張，是三個(gè)等價(jià)的定義。域擴(kuò)張L/K是正規(guī)擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)它滿足以下三個(gè)等價(jià)條件中任意一個(gè)1：

L是多項(xiàng)式環(huán)K[X]中的某一族多項(xiàng)式的分裂域。

設(shè)K是一個(gè)包含了L的K的代數(shù)閉包。對(duì)于L在K上的每一個(gè)嵌入σ，只要它限制在K上的部分是平凡的（即為恒等映射：σ(x)=x），那么就有σ(L) =L。換句話說(shuō)，L在K上的每一個(gè)K-嵌入σ都是一個(gè)L上的K-自同構(gòu)。

任意一個(gè)K[X]上的不可約多項(xiàng)式，只要它在L中有一個(gè)根，那么就可以在L[X]分解成一次因式的乘積（或者說(shuō)全部的根都在L中）。

例子是的一個(gè)正規(guī)擴(kuò)張，因?yàn)樗?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/kOfSYn7ed1TGZGP1gu40HSjYETxEVOyNKvtP.jpg" alt="" />上的多項(xiàng)式的分裂域。然而，并不是的一個(gè)正規(guī)擴(kuò)張，因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/kOfSYn7ed1TGZGP1gu40HSjYETxEVOyNKvtP.jpg" alt="" />上的不可約多項(xiàng)式有一個(gè)根：在里面，但它的另外兩個(gè)根：和都是復(fù)數(shù)，不在里面。只有在加入了三次單位根：后的擴(kuò)域才是一個(gè)正規(guī)擴(kuò)張。

也可以用正規(guī)擴(kuò)張的第二個(gè)定義來(lái)證明不是的正規(guī)擴(kuò)張。設(shè)域是由所有復(fù)代數(shù)數(shù)生成的擴(kuò)域，則是的一個(gè)代數(shù)閉包，并且在里面。另一方面，

并且，如果記是的復(fù)根之一，那么映射：

是在上的一個(gè)嵌入，并且它限制在上的部分是平凡的（將中元素映射到自己）。但是σ并不是上的自同構(gòu)。

更一般地，對(duì)每一個(gè)素?cái)?shù)p，域擴(kuò)張都是的一個(gè)正規(guī)擴(kuò)張，擴(kuò)張的次數(shù)是p(p-1)。是上的多項(xiàng)式的分裂域。其中的是任意一個(gè)復(fù)數(shù)p次單位根。

性質(zhì)設(shè)有域擴(kuò)張L/K，那么2：

1) 如果L是K的正規(guī)擴(kuò)張，并且F是一個(gè)子擴(kuò)張（也就是說(shuō)有擴(kuò)張K?F?L）那么L也是F的正規(guī)擴(kuò)張。

2) 如果L的子域E和F都是K的正規(guī)擴(kuò)張，那么兩者的復(fù)合擴(kuò)張EF（指L的子域中同時(shí)包含E和F的最小者）以及兩者的交E∩F也都是K的正規(guī)擴(kuò)張。

正規(guī)閉包設(shè)有域擴(kuò)張L/K，那么總存在域擴(kuò)張M/L，使得M/K是正規(guī)擴(kuò)張。在同構(gòu)意義上，最小的這樣的擴(kuò)張是唯一。即是說(shuō)，其他的域擴(kuò)張N/L如果使得N/K是正規(guī)擴(kuò)張，那么總存在N/L的子擴(kuò)張M'/L，使得M'同構(gòu)于M。這個(gè)唯一的“最小”正規(guī)擴(kuò)張M/L稱為域擴(kuò)張L/K的正規(guī)閉包。

如果L/K是有限擴(kuò)張，那么它的正規(guī)閉包M/L也是有限擴(kuò)張（因此M/K也是有限擴(kuò)張）。