[科普中國]-代數(shù)無關性

歷史

Gel’fond-Schneider定理給出了 的超越性，其中α≠0，1是代數(shù)數(shù)，β是次數(shù)為d>1的代數(shù)數(shù)．1948年A．0．Gel’fond提出了 ， ，…， 的代數(shù)無關性問題．他證明了：若β是三次代數(shù)數(shù)，則 ， 是代數(shù)無關的．他還宣布：一般地，當d≥2時， ， ，…， 中至少有[(d+1)/2]個數(shù)是代數(shù)無關的，但沒有給出證明．直到1987年，人們改進和推廣了Gel’fond—Schneider方法才證明了這個結論．1971年，R．Tijdemann應用Gel’fond．Schneider方法證明了數(shù)e，π，e?π， 中至少有兩個是代數(shù)無關的．1996年，Yu．V．Nesterenko證明了π，e?π，Γ（1/4）是代數(shù)無關的．他在證明中應用了來自交換代數(shù)和代數(shù)幾何的技術，提出一種新的代數(shù)無關性證明方法，并將其用于其他代數(shù)無關性問題．這是當代超越數(shù)論的最重要的進展．人們推測他的方法(或其改進形式)有可能給出更多的代數(shù)無關性結果．例如，人們猜測：兩組數(shù)π，Γ（1/3），Γ1/4）及e,π,e?π,Γ(1/4）分別是代數(shù)無關的；數(shù)π，Γ（1/5），Γ（2/5）、e?√5π中有三個數(shù)是代數(shù)無關的；等等.值得注意的是，e和兀是否代數(shù)無關仍未解決．有一個相當弱的結果：若e?(π2)是代數(shù)數(shù)，則e和π代數(shù)無關．

20世紀30年代，K．Mahler及J．F．Koksma相互獨立地將全體復數(shù)作了一種分類：所有代數(shù)數(shù)形成一類(稱為A類)，所有超越數(shù)劃分為互不相交的三類：S類、T類和U類，它們的元素分別稱為S數(shù)、T數(shù)和U數(shù)．任何代數(shù)相關的兩個數(shù)屬于同一類；任何不同類的兩個超越數(shù)必是代數(shù)無關的．所有Liouville數(shù)都屬于U類；e，π，log 2， 及0．123 456 789 101 112 13…等都不屬于U類(因而這些數(shù)中每一個都與任何Liouville數(shù)是代數(shù)無關的)．但還不知道e?π是否為Liouville數(shù)．因為 是Liouville數(shù)，所以與e是代數(shù)無關的，從而e+是超越數(shù)．

超越數(shù)論中不少問題都與指數(shù)函數(shù)或其反函數(shù)即對數(shù)函數(shù)有關．例如，C．L．Siegel，S．Lang及K．Ramachandra證明了下面的定理(通常稱為六指數(shù)定理)：如果兩組復數(shù)x1，x2及y1，y2，y3分別在Q上線性無關，那么六個數(shù) (i=1，2；j=1，2，3)中至少有一個超越數(shù)．若在這個定理中，取x1=1，x2=π；y1=log 2，y2 πl(wèi)og 2，y3= π2log 2，則 (i = 1，2；j=1，2，3)是2，2?π，2?π2,2?π，2?π2，2?π3，因而我們得知：數(shù)2?π，2?π2，2?π3中至少有一個超越數(shù)．一般地，C．L．Siegel，Th．Schneider，S．Lang及K．Ramachandra提出：

四指數(shù)猜想

如果兩組復數(shù)x1，x2及y1，y2分別在Q上是線性無關的，那么四個數(shù) (i = 1，2；j=1，2)中至少有一個超越數(shù)．

另一個與指數(shù)函數(shù)有關的重要猜想是： Schanuel猜想 設復數(shù)x1，…， 在Q上線性無關，那么2s個數(shù)x1，…，， ，…， 中至少有s個是代數(shù)無關的．這個猜想是由S．Schanuel提出的，并由S．Lang于1966年首先公布．

若在其中取X1=1，X2=2πi，即得猜想：e，π是代數(shù)無關的．若取s=d≥2， =(log α)β?(j-1)(j=1，…，d)，其中α≠0，1，而β是d次代數(shù)數(shù)，log α表示α的自然對數(shù)的某個分支，可得猜想：logα，α?β，α?β2,…，α?(β?(d-1))是代數(shù)無關的．我們已由六指數(shù)定理推出數(shù)2?π，2?π2，2?π3中至少有一個超越數(shù)，但尚不知道2?π，2?π2中是否有一個超越數(shù)；但若Schanuel猜想成立，則可推出π，log 2，2?π，2?π2,2?π3代數(shù)無關．實際上，可以證明四指數(shù)猜想是Schanuel猜想的一個推論．Schanuel猜想的另外一個有趣的推論是：若它成立，則下列17個數(shù)代數(shù)無關：

由Hermite—Lindemann定理可知，Schanuel猜想迄今只對s=1成立．一般情形的解決極為困難．另外，人們還提出Schanuel猜想的推廣形式．

當然還有許多其他超越數(shù)論猜想，如正文中提到的ζ(2k+1)(k≥1)、Catalan常數(shù)及γ常數(shù)的無理性或超越性等2．

數(shù)的代數(shù)無關性對于s個復數(shù)θ?，…，θs，若存在一個含s個變量的整系數(shù)非零多項式P(Z1，…，Zs)，使得P(θ1，…，θs)=0，則稱θ1，…，θs，(在有理數(shù)域Q上)代數(shù)相關，不然稱θ1，…，θs(在有理數(shù)域Q上)代數(shù)無關．因此，若θ1，…，θz代數(shù)無關，則對任何s個變量的整系數(shù)非零多項式P(z1，…，zs)，總有P(θ1，…，θs)≠0，并且θi(1≤j≤s)中的任意個也代數(shù)無關；特別地，這s個數(shù)全是超越數(shù)．例如，π和π2是代數(shù)相關的，因為它們滿足 一z?=0．可以證明：對于任何整數(shù)s≥1，實數(shù)

是代數(shù)無關的．

代數(shù)無關性概念的定量形式為：

設θ1，…，θs是s個復數(shù)．如果存在一個正整變量x,y的正值函數(shù)ψ(x，y)，具有下列性質：對于任意給定的正整數(shù)d，H，以及任何次數(shù)≤d，高(即系數(shù)絕對值的最大值)≤H的整系數(shù)非零多項式P(z1，…，zs)，有

那么稱ψ(d，H)是θ1，…，θs的一個代數(shù)無關性度量．特別地，當S=1時，稱其為θ1的超越性度量．當然，這個定義蘊涵了θ1，…，θs的代數(shù)無關性(或θ1的超越性)．例如，對于log 2，可取

其中C2>0是一個常數(shù)，也就是說，對于任何次數(shù)≤d、高≤H的整系數(shù)非零多項式P(z)，有

超越數(shù)論的基本任務就是確定一個數(shù)的超越性或幾個數(shù)的代數(shù)無關性(定性和定量兩個方面)2．

對數(shù)代數(shù)無關性沙努爾猜想3是超越數(shù)論中最基本最前沿的問題，它被認為是包含了已知的與指數(shù)(對數(shù))函數(shù)值的超越性有關的所有結果以及所有合理的猜想．這個猜想的解決將會導致整個超越數(shù)論發(fā)生翻天覆地的改變，大部分超越數(shù)論的謎題也會隨之迎刃而解．

在提出沙努爾猜想之前首先有的是對數(shù)代數(shù)無關性猜想和根據(jù)六指數(shù)定理提出的四指數(shù)猜想．

對數(shù)代數(shù)無關性猜想：

若x1，…，xn為非零的代數(shù)數(shù)使得lgx1，…，lgxn在Q上線性無關，則lgx1，...，lgxn代數(shù)無關．對數(shù)代數(shù)無關性猜想的證明是許多數(shù)學家畢生的追求，但可惜的是我們只證明了n=1的情況，當n≥2時，我們毫無頭緒，我們連是否存在代數(shù)數(shù)x1，x2使得lgx1，lgx2代數(shù)無關都不知道．

根據(jù)兩個猜想，沙努爾提出了更一般的猜想．

沙努爾猜想:

若x1，…，xn為Q上線性無關的復數(shù)，則x1，...，Xn，e?x?，…,e?(xn)這2n個數(shù)中至少有n個代數(shù)無關．我們可以分析一下這個猜想．當x1，...xn均為代數(shù)數(shù)時，這個猜想就是我們上面講述的林德曼一魏爾斯特拉斯定理．當e?x?，…,e?(xn)如均為代數(shù)數(shù)時，這個猜想就變成了上面的對數(shù)代數(shù)無關性猜想了．因此，我們才會說沙努爾猜想是超越數(shù)論中所有合理猜想的“綜合”．數(shù)學家們經(jīng)過努力，但只能在加上一些附加條件時才能得到證明，對于這個猜想本身，由于缺少有效的工具和方法，還看不到解決該猜想的希望3．

指數(shù)的代數(shù)無關性定理一 設復數(shù)α0,α1，α2及γ0,γ1,γ2分別Q線性無關，則數(shù)

中至少有兩個代數(shù)無關4．

定理2 設復數(shù)α0,α1，α2及η0，η1,分別Q線性無關，則數(shù)

中至少有兩個代數(shù)無關4．