[科普中國]-可剖分空間

概念

可剖分空間(Ctriangulated space)亦稱彎曲多面體。是一類拓?fù)淇臻g。為了使復(fù)形的研究結(jié)果適用于更廣范圍的拓?fù)淇臻g，如球面、環(huán)面等，可做如下推廣：設(shè)X是拓?fù)淇臻g，若存在單純復(fù)形K與同胚映射f：|K|→X，則稱X為可剖分空間，(K，f)或K稱為X的一個(gè)剖分或單純剖分。為了和多面體|K|加以區(qū)別，X稱為彎曲多面體，K中單形的同胚像稱為彎曲單形，全體彎曲單形的集合稱為彎曲復(fù)形。2

拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個(gè)集，在它的每一個(gè)點(diǎn)賦予一種確定的鄰域結(jié)構(gòu)便構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g。拓?fù)淇臻g是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數(shù)學(xué)家弗雷歇于1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數(shù)學(xué)家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓?fù)淇臻g定義為一個(gè)集合，并使用了“鄰域”概念，根據(jù)這一概念建立了抽象空間的完整理論，后人稱他建立的這種拓?fù)淇臻g為豪斯多夫空間(即現(xiàn)在的T2拓?fù)淇臻g)。同時(shí)期的匈牙利數(shù)學(xué)家里斯還從導(dǎo)集出發(fā)定義了拓?fù)淇臻g。20世紀(jì)20年代，原蘇聯(lián)莫斯科學(xué)派的數(shù)學(xué)家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對(duì)緊與列緊空間理論進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并在距離化問題上有重要貢獻(xiàn)。1930年該學(xué)派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規(guī)空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀(jì)30年代后，法國數(shù)學(xué)家又在拓?fù)淇臻g方面做出新貢獻(xiàn)。1937年布爾巴基學(xué)派的主要成員H.嘉當(dāng)引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質(zhì)的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結(jié)構(gòu)的概念，推廣了距離空間，還于1940年出版了《拓?fù)淙旱姆e分及其應(yīng)用》一書。1944年迪厄多內(nèi)引進(jìn)雙緊致空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學(xué)生們進(jìn)行了完整的研究。布爾巴基學(xué)派的《一般拓?fù)鋵W(xué)》亦對(duì)拓?fù)淇臻g理論進(jìn)行了補(bǔ)充和總結(jié)。

此外，美國數(shù)學(xué)家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結(jié)果。捷克數(shù)學(xué)家切赫建立起緊致空間的包絡(luò)理論，為一般拓?fù)鋵W(xué)提供了有力工具。他的著作《拓?fù)淇臻g論》于1960年出版。近幾十年來拓?fù)淇臻g理論仍在繼續(xù)發(fā)展，不斷取得新的成果。

一般拓?fù)鋵W(xué)的基本研究對(duì)象。確定了拓?fù)銽的集合X稱為拓?fù)淇臻g，記為(X，T)。具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的抽象空間是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1906年和里斯(Riesz，F(xiàn).(F.))于1907年首先引進(jìn)的.弗雷歇用收斂序列，里斯用聚點(diǎn)分別定義了他們的空間。但里斯的定義過于一般且比較復(fù)雜，弗雷歇的定義過于狹窄.第一個(gè)令人滿意的拓?fù)淇臻g的定義是豪斯多夫(Hausdorff，F(xiàn).)于1914年用鄰域系提出的。他的定義發(fā)展了希爾伯特(Hilbert，D.)于1902年和外爾(Weyl，(C.H.)H.)于1913年的思想。希爾伯特和外爾用鄰域分別給出平面和黎曼曲面的一種公理描述。而豪斯多夫?qū)⑺麄円M(jìn)的概念給出適當(dāng)?shù)囊话慊l(fā)展成有系統(tǒng)且詳盡的一般理論，從而奠定了一般拓?fù)鋵W(xué)這一學(xué)科。稍后，穆爾(Moore，R.L.)于1916年用開集系，庫拉托夫斯基(Kuratowski，K.)于1922年用閉包算子分別提出另一種公理系統(tǒng)，它們都是等價(jià)的。還可用閉集系、內(nèi)部算子、收斂類等各種不同公理系統(tǒng)刻畫拓?fù)淇臻g。目前較常用的是開集系、鄰域系或閉包算子等公理系統(tǒng)建立拓?fù)淇臻g。3

單形單形是點(diǎn)、線段、三角形和四面體的高維推廣。它是構(gòu)成多面體的“磚塊”。設(shè)a0，a1，a2，…，aq是n維歐氏空間中幾何無關(guān)點(diǎn)組，中點(diǎn)集：

稱為以a0，a1，…，aq為頂點(diǎn)的q維單純形，簡稱q維單形，記為sq=(a0，a1，a2，…，aq)，有序數(shù)組(λ0，λ1，…，λq)稱為點(diǎn)x在q維單形中的重心坐標(biāo)，記為x=(λ0，λ1，…，λq)。設(shè)=(a0，a1，…，aq)是q維單形，重心坐標(biāo)為：

的點(diǎn)s稱為單形的重心。1維單形的重心是線段的中點(diǎn)，2維單形的重心是三角形的三條中線的交點(diǎn)。若單形sq=(a0，a1，…，aq)R，{i0，i1，…，ir}{0，1，2，…，q}，則ai0，ai1，…，air是幾何無關(guān)點(diǎn)組。從而R中有r維單形，sq=(ai0，ai1，ai2，…，air)，sr稱為單形sq的一個(gè)r維面，記為sr≤sq。當(dāng)r