[科普中國]-阿基米德絕對值

概念基礎(chǔ)賦值論

域論的一個重要分支，它是研究交換代數(shù)的一個工具，特別是在代數(shù)數(shù)論、分歧理論、類域論和代數(shù)幾何中有極為重要的應(yīng)用。通常的賦值可分為加法與乘法賦值兩類，有時簡稱賦值。從賦值出發(fā)，可以給原來的域一個拓撲結(jié)構(gòu)，使之成為拓撲域。賦值理論肇始于屈爾沙克于1913年發(fā)表的論文。賦值、賦值域這些名詞都是他首先引入的。氣候，經(jīng)過奧斯特洛夫斯基（Ostrowski，A.M.）等人的工作，解決了屈爾沙克在論文中提出的問題，并發(fā)展了這一理論。1932年，克魯爾（Krull，W.）發(fā)表了題為《一般賦值理論》的基本論文，從而奠定了賦值論這一分支的基礎(chǔ)。時至今日，賦值理論已逐漸越出了“域”的界限，在許多代數(shù)結(jié)構(gòu)上，例如群、環(huán)、向量空間等，也用多種方式引進賦值，并由此對這些結(jié)構(gòu)作算術(shù)理論的研究。此外，賦值論還滲入泛函分析的領(lǐng)域，發(fā)展了所謂非阿基米德泛函分析。1

絕對值一個域到實數(shù)域內(nèi)的一種映射。它是通常絕對值的推廣。若φ是由域F到實數(shù)域R的映射，稱φ為F上的一個絕對值，若φ滿足條件：

1、φ(a)≥0，φ(a)=0，當且僅當a=0（F的零元）；

2、φ(ab)=φ(a)φ(b)；

3、φ(a+b)≤Cmax{φ(a),φ(b)}，其中a，b∈F，C為一常數(shù)，滿足01，其中e為F的單位元。把絕對值區(qū)分為阿基米德絕對值和非阿基米德絕對值，來自奧斯特洛夫斯基(Ostrowski , A. M.)于1915年的工作。1

非阿基米德絕對值非阿基米德絕對值(non-Archimedean absolute value)是一類特殊的絕對值。它是一種非常重要的類型。若φ為F上的絕對值，且C=1，即在上述絕對值定義之中條件3變?yōu)?/p>

則φ稱為非阿基米德絕對值。非淺顯的絕對值為非阿基米德絕對值的充分必要條件是：φ(me)≤1 對每個m∈Z （整數(shù)加群），e為F的單位元。特征為 p 的域上只能有非阿基米德絕對值。1