[科普中國(guó)]-概率測(cè)度

簡(jiǎn)介

概率測(cè)度(probability measure)是概率論、遍歷理論等數(shù)學(xué)分支中常用的一種重要的有限測(cè)度。

在數(shù)學(xué)中，概率測(cè)度是在滿(mǎn)足測(cè)度屬性（如可加性）的概率空間中的一組事件上定義的實(shí)值函數(shù)。概率測(cè)度與一般的測(cè)度概念（包括像面積或體積等概念）之間的差異在于：概率測(cè)量整個(gè)概率必須為1。

直觀地，加和性表明，通過(guò)測(cè)度分配給兩個(gè)不相交事件的并集的概率應(yīng)該是事件的概率的總和。例如， 在一個(gè)模具的投擲中分配給“1或2”的概率值應(yīng)該是分配給“1”和“2”的概率值的總和。

概率測(cè)度在物理學(xué)，財(cái)務(wù)和生物學(xué)領(lǐng)域都有應(yīng)用。1

定義函數(shù)μ作為概率空間，它的概率測(cè)度的要求是：

（1）μ必須以在[0，1]之內(nèi)返回結(jié)果，返回0為空集，返回1為整個(gè)空間。

（2）μ必須滿(mǎn)足所有可數(shù)集合中不相交集合可加的屬性：

例如，給定概率為1/4，1/4和1/2的三個(gè)元素1,2和3，分配給{1,3}的值為1/4 + 1/3 = 3/4，如下圖。

基于事件交點(diǎn)的條件概率定義為：

只要P（A）不為零，就滿(mǎn)足概率測(cè)度要求。

概率測(cè)度與模糊測(cè)度的概念不同，其中模糊值不需要總和為1，并且添加屬性由基于集合包含的順序關(guān)系替代。2

示例應(yīng)用基于實(shí)際市場(chǎng)變化將金融市場(chǎng)進(jìn)行概率分配是數(shù)學(xué)融資中所關(guān)注的概率測(cè)度的一個(gè)例子。 在金融衍生品的定價(jià)中，例如，風(fēng)險(xiǎn)中性措施是一種概率測(cè)度，它假設(shè)資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)值是相對(duì)于同樣的風(fēng)險(xiǎn)中性量度（即使用相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)中性密度函數(shù)計(jì)算）的未來(lái)收益的預(yù)期值，以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率體現(xiàn)。 如果有一個(gè)概率測(cè)度，必須用于對(duì)市場(chǎng)中的資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，那么市場(chǎng)就被稱(chēng)為一個(gè)完整的市場(chǎng)。

不是所有直觀地可能都是概率測(cè)度。 例如，雖然統(tǒng)計(jì)力學(xué)系統(tǒng)的基本概念是度量空間，但這些并不總是概率測(cè)度。一般來(lái)說(shuō)，在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，如果我們考慮“系統(tǒng)S假設(shè)狀態(tài)A為p的概率”的句子，那么系統(tǒng)的幾何并不總是導(dǎo)致在一致性下的概率測(cè)量的定義。

概率測(cè)量也用于數(shù)學(xué)生物學(xué)，例如，在比較序列分析中，概率測(cè)量可以針對(duì)序列中的氨基酸允許的變體可能性來(lái)定義。

延伸勒貝格測(cè)度在測(cè)量理論中，勒貝格測(cè)度（Lebesgue measure）是將測(cè)度分配給n維歐幾里德空間子集的標(biāo)準(zhǔn)方法。 對(duì)于n = 1，2或3時(shí)，它可以對(duì)長(zhǎng)度，面積或體積進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)度量。 一般來(lái)說(shuō)，它也稱(chēng)為n維體積，n-體積或簡(jiǎn)單體積。它可以在實(shí)際分析中使用，特別是在定義勒貝格積分時(shí)得到應(yīng)用。勒貝格測(cè)度通常表示為dx。

給定一個(gè)歐幾里德空間中的子集E，定義區(qū)間I=[a，b]且區(qū)間長(zhǎng)度為L(zhǎng)(I)=b-a，滿(mǎn)足E包含于，則E的勒貝格外部測(cè)度為：

勒貝格測(cè)度是在勒貝格σ代數(shù)上定義的，它是所有滿(mǎn)足條件的子集E的集合，條件為，對(duì)于每個(gè)歐幾里德空間的子集A有：

對(duì)于勒貝格σ代數(shù)中的任何集合，其勒貝格測(cè)度均由其勒貝格外部測(cè)度給定：

不包含在勒貝格σ代數(shù)的集合不是勒貝格可測(cè)度的。

一般地，實(shí)數(shù)的任何閉區(qū)間[a，b]是勒貝格可測(cè)度的，其勒貝格測(cè)度是長(zhǎng)度b - a。開(kāi)區(qū)間（a，b）的勒貝格測(cè)度同上，這是因?yàn)閮山M之間的差異僅由端點(diǎn)a和b組成。3

區(qū)間[a，b]和[c，d]的任意笛卡爾乘積是勒貝格可測(cè)度的，其勒貝格測(cè)度是（b-a）（d-c），代表相應(yīng)矩形的面積。

任何可數(shù)的實(shí)數(shù)集的勒貝格測(cè)度均為0。

如果確定性公理成立，那么所有的集體都是勒貝格可測(cè)度的。

簡(jiǎn)單平面曲線的圖像也是勒貝格可測(cè)度的。

博雷爾測(cè)度在數(shù)學(xué)中，特別是在測(cè)量理論中，拓?fù)淇臻g上的博雷爾測(cè)度（Borel measure）是在所有開(kāi)放集合（以及所有Borel集合）上定義的度量。

定義X為豪斯多夫空間的集合，B(X)為包含X中所有開(kāi)集合的最小σ代數(shù)，這被稱(chēng)為博雷爾集合的σ代數(shù)。博雷爾測(cè)度是在伯雷爾集合的σ代數(shù)上定義的任何測(cè)度。

一般地，歐幾里得空間R與其通常的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是一個(gè)局部緊湊的Hausdorff空間，因此我們可以定義一個(gè)博雷爾測(cè)度。在這種情況下，B(R)為包含R中所有開(kāi)集合的最小σ代數(shù)，這被稱(chēng)為博雷爾集合的σ代數(shù)。雖然理論上會(huì)存在很多Borel測(cè)度μ，但是對(duì)于半開(kāi)區(qū)間(a，b]的博雷爾測(cè)度恒為=((a，b])=b-a。這一測(cè)度結(jié)果表明，被定義在博雷爾σ代數(shù)上的博雷爾測(cè)度，同樣被定義在勒貝格σ代數(shù)上。由此可見(jiàn)，博雷爾測(cè)度和勒貝格測(cè)度在博雷爾集合上的測(cè)度結(jié)果一致，對(duì)于每一個(gè)博雷爾可測(cè)度的集合，均滿(mǎn)足。

使概率測(cè)度與勒貝格測(cè)度相關(guān)聯(lián)的變量是概率密度函數(shù)，具體原理為拉東-尼古丁定理。

博雷爾測(cè)度與對(duì)定義在其上的集合的勒貝格測(cè)度結(jié)果一致， 然而還有比博雷爾可測(cè)集更多的勒貝格可測(cè)量集。博雷爾測(cè)度不變量，但不完整。